Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại\(A\) và \(D\), \(AD = DC = a\). Biết

Câu hỏi số 305206:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại\(A\) và \(D\), \(AD = DC = a\). Biết \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

A. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\)

B. \(\dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {35} }}{7}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305206

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng (góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng)

- Tính cô sin góc vừa xác định, sử dụng định lý hàm số cos.

Giải chi tiết

Gọi \(H,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\).

Kẻ \(HF \bot SE\).

Do \(\Delta SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(AB = 2a,AD = DC = a,\widehat A = \widehat D = {90^0}\) nên

\(CH = HB = a,CH \bot AB,HE \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {SAB} \right)\)

Lại có \(BC \bot HE,BC \bot SH \Rightarrow BC \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow BC \bot HF\)

Mà \(HF \bot SE\) nên \(HF \bot \left( {SBC} \right)\)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \(\widehat {\left( {HC,HF} \right)} = \widehat {FHC}\) (vì \(\widehat {FHC} < \widehat {HFC} = {90^0}\))

Xét tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a\) nên \(SH = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Tam giác \(HBC\) vuông cân tại \(H\), có \(HB = HC = a\) nên \(HE = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác \(\Delta SHE\) vuông tại \(H\) có \(HF\) là đường cao nên

\(\dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} \Rightarrow HF = \dfrac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

Tam giác \(HFC\) vuông tại \(F\) có \(HF = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7},HC = a\) nên \(\cos \widehat {FHC} = \dfrac{{HF}}{{HC}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}:a = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy cô sin của góc hợp bởi hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) là \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.