Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằng đường kính đáy, hay đáy là các hình tròn

Câu hỏi số 305207:

Vận dụng

Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằng đường kính đáy, hay đáy là các hình tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\). Gọi \(A\) là điểm di động trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(B\) là điểm di động trên đường tròn \(\left( {O';R} \right)\), khi đó thể tích khối tứ diện \(OO'AB\) có giá trị lớn nhất là

A. \(\dfrac{{{R^3}}}{6}\)

B. \(\dfrac{{{R^3}}}{3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {R^3}}}{6}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 {R^3}}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305207

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện khi biết góc và khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\,\,BC = b;\,\,d\left( {AD;BC} \right) = d;\,\,\widehat {\left( {AD;\,\,BC} \right)} = \alpha \). Khi đó\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}abd.\sin \alpha \)

Từ đó đánh giá \(\sin \alpha \le 1\) để tìm giá trị lớn nhất của \({V_{ABCD}}\)

Giải chi tiết

Vì chiều cao hình trụ bằng đường kính đáy nên \(OO' = 2R\)

Ta thấy \(OO' \bot OA;\,OO' \bot O'B \Rightarrow d\left( {OA;O'B} \right) = OO' = 2R\)

Xét tứ diện \(OAO'B\) có \(OA = R;\,\,O'B = R;\,\,d\left( {OA;O'B} \right) = 2R\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(OA\) và \(O'B\). Khi đó ta có

\({V_{OAO'B}} = \dfrac{1}{6}OA.O'B.d\left( {OA;O'B} \right).\sin \alpha = \dfrac{1}{6}.R.R.2R.\sin \alpha = \dfrac{{{R^3}}}{3}\sin \alpha \le \dfrac{{{R^3}}}{3}\)

(vì \(\sin \alpha \le 1\) )

Nên \({V_{\max }} = \dfrac{{{R^3}}}{3}\) .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.