Cho hàm số \(y = {x^3} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm điểm có hoành độ dương trên

Câu hỏi số 305187:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm điểm có hoành độ dương trên đường thẳng \(d:y = x + 1\) mà qua đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến tới \(\left( C \right).\)

A. \(M\left( {1 + \sqrt 2 ;2 + \sqrt 2 } \right)\)

B. \(M\left( {\sqrt 3 - 1;\sqrt 3 } \right)\)

C. \(M\left( {1;2} \right)\)

D. \(M\left( {2;3} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305187

Phương pháp giải

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d:y = x + 1\)

Bước 1: Gọi \(\left( \Delta \right)\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ; \(\left( \Delta \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có hệ số góc \(k.\)

Bước 2: \(\left( \Delta \right)\) có dạng \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Để \(\left( \Delta \right)\) tiếp xúc với đồ thị \(y = f\left( x \right)\) thì hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = k\\f\left( x \right) = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\end{array} \right.\) có nghiệm

Bước 3: Giải hệ bằng phương pháp thế và từ ycbt suy ra phương trình \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) có hai nghiệm phân biệt.

Sử dụng nhận xét: Hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\) cắt trụ hoành tại hai điểm phân biệt khi hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0.\)

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {m;m + 1} \right) \in d:y = x + 1\) với \(m > 0.\)

Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến \(\left( \Delta \right)\) với đồ thị (C) đi qua \(M\left( {m;m + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( \Delta \right)\) có dạng: \(y = k\left( {x - m} \right) + m + 1\)

Để \(\left( \Delta \right)\) tiếp xúc với (C) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 1 = k\left( {x - m} \right) + m + 1\\k = 3{{\rm{x}}^2}\end{array} \right.\) có nghiệm.

\( \Rightarrow {x^3} + 1 = 3{x^2}\left( {x - m} \right) + m + 1 \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^3} - 3m{{\rm{x}}^2} + m = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Ta xét \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 3m{x^2} + m\), bài toán được đưa về tìm \(m > 0\) để đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt hay hàm số \(g\left( x \right)\) có hai điểm cực trị sao cho \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0\)

Ta có \(g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow 6x\left( {x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = m\\x = m \Rightarrow g\left( m \right) = - {m^3} + m\end{array} \right.\)

Suy ra \(m\left( { - {m^3} + m} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2}\left( { - {m^2} + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là \(M\left( {1;2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.