Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), vẽ các tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) của

Câu hỏi số 306228:

Vận dụng cao

Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), vẽ các tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) của đường tròn (\(B,C\)là các tiếp điểm) và cát tuyến \(ADE\)(\(D\) nằm giữa \(A\) và \(E\)). Đường thẳng đi qua \(D\) song song với \(AB\) cắt \(BC\) và \(BE\) theo thứ tự tại \(H\) và \(K\). Chứng minh \(DH = HK\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306228

Phương pháp giải

Sử dụng các cặp tam giác đồng dạng để tính tỉ số giữa các cạnh \(DH,HK\) theo với các cạnh khác, từ đó rút ra \(DH = HK\).

Giải chi tiết

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:

\(\angle SBE\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung BE

\(\angle BCE\)là góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\)

\( \Rightarrow \angle SBE = \angle BCE\) (định lý)

Mà có: \(\angle SBE = \angle BKH\) (hai góc so le trong, \(KD//AB\))

\( \Rightarrow \angle BKH = \angle BCE\;\;\left( { = \angle SBE} \right)\)

Xét \(\Delta BKH\)và \(\Delta BCE\) có:

\(\begin{array}{l}\angle BKH = \angle BCE\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle EBC\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta BKH \sim \Delta BCE \Rightarrow \frac{{KH}}{{CE}} = \frac{{BH}}{{BE}} \Rightarrow KH = BH.\frac{{CE}}{{BE}}\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta BHD \sim \Delta BDC\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BH}}{{BD}} = \frac{{HD}}{{CD}} \Rightarrow HD = BH.\frac{{CD}}{{BD}}\;\;\;\left( 2 \right)\)

Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta EAB\) có:

\(\angle BAE\;\;chung\;\;\)

\(\angle DBA = \angle BEA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BD\))

\( \Rightarrow \Delta BAD \sim \Delta EAB\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{AB}}{{AD}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta ACE \sim \;\Delta ADC\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{AC}}{{AD}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà có \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AD}}\) (do\(AB,AC\)cùng là tiếp tuyến đi qua \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\)nên \(AB = AC\))

\( \Rightarrow \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{CE}}{{CD}} \Rightarrow \frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{BD}}\) (3)

Từ (1) , (2) , (3) ta có: \(\frac{{KH}}{{HD}} = \frac{{BH}}{{BH}}.\frac{{CE}}{{BE}}.\frac{{BD}}{{CD}} = 1 \Rightarrow HK = HD\) (đpcm)\(\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link