Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + 2b + 3c \ge 20\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S = a + b + c +

Câu hỏi số 306227:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + 2b + 3c \ge 20\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(S = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{{2b}} + \frac{4}{c}.\)

A. \(\min S = 13\)

B. \(\min S = 12\)

C. \(\min S = 11\)

D. \(\min S = 10\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306227

Phương pháp giải

Nhận thấy dấu ”=” xảy ra khi \(a = 2,b = 3,c = 4\), ta tách các số hạng , sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si \(\left( {a + b \ge 2\sqrt {ab} \left( {a,b \ge 0} \right)} \right)\) sao cho dấu bằng xảy ra khi \(a = 2,\;b = 3,\;c = 4.\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}S = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{{2b}} + \frac{4}{c} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + \frac{{3c}}{4} + \left( {\frac{{3a}}{4} + \frac{3}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{2} + \frac{9}{{2b}}} \right) + \left( {\frac{c}{4} + \frac{4}{c}} \right)\\ = \frac{1}{4}\left( {a + 2b + 3c} \right) + \left( {\frac{{3a}}{4} + \frac{3}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{2} + \frac{9}{{2b}}} \right) + \left( {\frac{c}{4} + \frac{4}{c}} \right)\end{array}\)\(\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:

\(\begin{array}{l} + )\frac{{3a}}{4} + \frac{3}{a} \ge 2\sqrt {\frac{{3a}}{4}.\frac{3}{a}} = 3\\ + )\frac{b}{2} + \frac{9}{{2b}} \ge 2\sqrt {\frac{b}{2}.\frac{9}{{2b}}} = 3\\ + )\frac{c}{4} + \frac{4}{c} \ge 2\sqrt {\frac{c}{4}.\frac{4}{c}} = 2\end{array}\)\(\)

\( \Rightarrow S = \frac{1}{4}\left( {a + 2b + 3c} \right) + \left( {\frac{{3a}}{4} + \frac{3}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{2} + \frac{9}{{2b}}} \right) + \left( {\frac{c}{4} + \frac{4}{c}} \right) \ge \frac{1}{4}.20 + 3 + 3 + 2 = 13\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b + 3c = 20\\\frac{{3a}}{4} = \frac{3}{a}\\\frac{b}{2} = \frac{9}{{2b}}\\\frac{c}{4} = \frac{4}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b + 3c = 20\\{a^2} = 4\\{b^2} = 9\\{c^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 4\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;a,\;b,\;c > 0} \right)\)\(\)

Vậy \(Min\;\;S = 13\;\;khi\;\;a = 2,\;b = 3,\;c = 4.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link