Cho khối tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng \(2a\) . Thể tích khối tứ diện đã cho

Câu hỏi số 306549:

Thông hiểu

Cho khối tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng \(2a\) . Thể tích khối tứ diện đã cho bằng:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306549

Phương pháp giải

+) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD \Rightarrow AG \bot \left( {BCD} \right)\).

+) Áp dụng định lí Pytago tính \(AG\).

+) Tính thể tích \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AG.{S_{BCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD \Rightarrow AG \bot \left( {BCD} \right)\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\). Do \(BCD\) là tam giác đều cạnh \(2a \Rightarrow BE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABG\) ta có : \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(2a \Rightarrow {S_{BCD}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AG.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}.{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Chú ý khi giải

HS nên nhớ công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.