Cho \(a;b\) là các số thực thỏa mãn \(a > 0\) và \(a \ne 1\) biết phương trình \({a^x} -

Câu hỏi số 307424:

Vận dụng cao

Cho \(a;b\) là các số thực thỏa mãn \(a > 0\) và \(a \ne 1\) biết phương trình \({a^x} - \frac{1}{{{a^x}}} = 2\cos \left( {bx} \right)\) có 7 nghiệm thực phân biệt. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình \({a^{2x}} - 2{a^x}\left( {{\mathop{\rm cosbx}\nolimits} + 2} \right) + 1 = 0\)

A. \(14\)

B. \(0\)

C. \(7\)

D. \(28\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307424

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{a^{2x}} - 2{a^x}\left( {{\mathop{\cos bx}\nolimits} + 2} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow {a^x} + \frac{1}{{{a^x}}} = 2\left( {\cos bx + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^{\frac{x}{2}}}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{a^{\frac{x}{2}}}} \right)}^2}}} - 2 = 2\left( {\cos bx + 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {{a^{\frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{a^{\frac{x}{2}}}}}} \right)^2} = 2.2{\cos ^2}\frac{{bx}}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^{\frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{a^{\frac{x}{2}}}}} = 2\cos \frac{{bx}}{2}\\{a^{\frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{a^{\frac{x}{2}}}}} = - 2\cos \frac{{bx}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^{\frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{a^{\frac{x}{2}}}}} = 2\cos \frac{{bx}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\\{a^{ - \frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{a^{ - \frac{x}{2}}}}} = 2\cos \left( {\frac{{b\left( { - x} \right)}}{2}} \right)\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Theo bài ra ta có phương trình (1) có 7 nghiệm phân biệt.

Ta thấy nếu \({x_0}\) là nghiệm của (1) \( \Rightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm \( - {x_0}\).

Xét \(f\left( 0 \right) = 1 - 2.1\left( {1 + 2} \right) + 1 = - 4 \ne 0 \Rightarrow x = 0\) không là nghiệm của (1) \( \Rightarrow {x_0} \ne 0 \Rightarrow - {x_0} \ne {x_0}\,\,\forall {x_0}\).

Vậy phương trình đề bài có tất cả 14 nghiệm.

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.