Cho hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng \(4cm.\) Điểm \(A\) nằm trên đường tròn

Câu hỏi số 307434:

Vận dụng cao

Cho hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng \(4cm.\) Điểm \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O,\) điểm \(B\) nằm trên đường tròn đáy tâm \(O'\) của hình trụ. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng \({\rm{OO}}'\) và \(AB\) bằng \(2\sqrt 2 cm\) . Khi đó khoảng cách giữa \(OA'\) và \(OB\) bằng:

A. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(2\sqrt 3 \)

D. \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307434

Phương pháp giải

+) Dựng \(AA'//OO',\,\,BB''//OO'\) (A’ thuộc đường tròn \(\left( {O'} \right)\) và \(B'\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\))

+) Xác định khoảng cách giữa OO’ và AB, chứng minh tam giác OAB’ vuông cân tại O.

+) Xác định mặt phẳng chưa O’A và song song với OB, đưa về bài toán khoảng cách từ điểm đếm mặt phẳng.

+) Xác định khoảng cách, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Dựng \(AA'//OO',\,\,BB''//OO'\) (A’ thuộc đường tròn \(\left( {O'} \right)\) và \(B'\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\))

Ta có:

\(\begin{array}{l}OO'//\left( {AA'B} \right) \supset AB\\ \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = d\left( {O';\left( {AA'B} \right)} \right)\end{array}\)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(A'B\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}O'K \bot A'B\\O'K \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow O'K \bot \left( {AA'B} \right) \Rightarrow d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = O'K = 2\sqrt 2 \)

Xét tam giác vuông \(O'KB\) có :

\(\cos \angle O'BK = \frac{{O'K}}{{O'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \angle O'BK = {45^0}\).

\(\Delta O'A'B\) cân tại \(O'\) có \(\angle O'BA' = {45^0} \Rightarrow \angle O'BK = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta O'A'B\) vuông tại \(O' \Rightarrow O'A' \bot O'B\).

Kéo dài OB’ cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\). Dễ dàng chứng minh được \(ODB'O\) là hình bình hành \( \Rightarrow OB//O'D \Rightarrow OB//\left( {O'AD} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {OB;O'A} \right) = d\left( {OB;\left( {O'AD} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {O'AD} \right)} \right)\) .

Gọi E là trung điểm của AD \( \Rightarrow OE \bot AD\).

Trong \(\left( {OO'E} \right)\) kẻ \(OH \bot O'E\) ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot OE\\AD \bot OO'\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {OO'E} \right) \Rightarrow AD \bot OH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot O'E\\OH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {O'AD} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {O'AD} \right)} \right) = OE\).

Ta có \(OE\) là đường trung bình của tam giác \(AB'D \Rightarrow OE = \frac{1}{2}AB' = \frac{1}{2}.4\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \) (Do tam giác \(OAB'\) vuông cân tại O có \(OA = 4\) nên \(AB' = 4\sqrt 2 \)).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OO’E ta có : \(OH = \frac{{OE.OO'}}{{\sqrt {O{E^2} + OO{'^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 .4}}{{\sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {O'A;OB} \right) = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.