Cho hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng \(4cm.\) Điểm \(A\) nằm trên đường tròn
Cho hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng \(4cm.\) Điểm \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O,\) điểm \(B\) nằm trên đường tròn đáy tâm \(O'\) của hình trụ. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng \({\rm{OO}}'\) và \(AB\) bằng \(2\sqrt 2 cm\) . Khi đó khoảng cách giữa \(OA'\) và \(OB\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
+) Dựng \(AA'//OO',\,\,BB''//OO'\) (A’ thuộc đường tròn \(\left( {O'} \right)\) và \(B'\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\))
+) Xác định khoảng cách giữa OO’ và AB, chứng minh tam giác OAB’ vuông cân tại O.
+) Xác định mặt phẳng chưa O’A và song song với OB, đưa về bài toán khoảng cách từ điểm đếm mặt phẳng.
+) Xác định khoảng cách, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.
Dựng \(AA'//OO',\,\,BB''//OO'\) (A’ thuộc đường tròn \(\left( {O'} \right)\) và \(B'\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\))
Ta có:
\(\begin{array}{l}OO'//\left( {AA'B} \right) \supset AB\\ \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = d\left( {O';\left( {AA'B} \right)} \right)\end{array}\)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(A'B\) ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}O'K \bot A'B\\O'K \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow O'K \bot \left( {AA'B} \right) \Rightarrow d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = O'K = 2\sqrt 2 \)
Xét tam giác vuông \(O'KB\) có :
\(\cos \angle O'BK = \frac{{O'K}}{{O'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \angle O'BK = {45^0}\).
\(\Delta O'A'B\) cân tại \(O'\) có \(\angle O'BA' = {45^0} \Rightarrow \angle O'BK = {45^0}\)
\( \Rightarrow \Delta O'A'B\) vuông tại \(O' \Rightarrow O'A' \bot O'B\).
Kéo dài OB’ cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\). Dễ dàng chứng minh được \(ODB'O\) là hình bình hành \( \Rightarrow OB//O'D \Rightarrow OB//\left( {O'AD} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {OB;O'A} \right) = d\left( {OB;\left( {O'AD} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {O'AD} \right)} \right)\) .
Gọi E là trung điểm của AD \( \Rightarrow OE \bot AD\).
Trong \(\left( {OO'E} \right)\) kẻ \(OH \bot O'E\) ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot OE\\AD \bot OO'\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {OO'E} \right) \Rightarrow AD \bot OH\)
\(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot O'E\\OH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {O'AD} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {O'AD} \right)} \right) = OE\).
Ta có \(OE\) là đường trung bình của tam giác \(AB'D \Rightarrow OE = \frac{1}{2}AB' = \frac{1}{2}.4\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \) (Do tam giác \(OAB'\) vuông cân tại O có \(OA = 4\) nên \(AB' = 4\sqrt 2 \)).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OO’E ta có : \(OH = \frac{{OE.OO'}}{{\sqrt {O{E^2} + OO{'^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 .4}}{{\sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {O'A;OB} \right) = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
