Trong không gian, cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,AB,BC\) đôi một vuông góc với nhau và \(SA = a,SB = b,SC

Câu hỏi số 307941:

Vận dụng

Trong không gian, cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,AB,BC\) đôi một vuông góc với nhau và \(SA = a,SB = b,SC = c.\) Mặt cầu đi qua \(S,A,B,C\) có bán kính bằng

A. \(\frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{3}\)

B. \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

C. \(2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

D. \(\frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy:

\(R = \sqrt {{{\left( {\frac{h}{2}} \right)}^2} + {r^2}} \) với \(h\) là độ dài cạnh bên vuông góc với mặt đáy và \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Giải chi tiết

Ta có: \(SA,\;AB,\;BC\) đôi một vuông góc

\( \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\Delta ABC\) vuông tại \(B.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)

Khi đó bán kính đường tròn tâm \(I\) ngoại tiếp \(\Delta ABC:\) \(r = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2} + {a^2}} .\)

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABC\) là:

\(R = \sqrt {{{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2} + {r^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:307941

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.