Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết \(\angle BAC = {30^0},\,\,SA = a\)

Câu hỏi số 308898:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết \(\angle BAC = {30^0},\,\,SA = a\) và \(BA = BC = a\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(AC\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt \(\left( {SCD} \right)\) bằng :

A. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}a\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt {21} }}{7}a\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{{14}}a\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:308898

Phương pháp giải

+) \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)\).

+) Dựng \(AH \bot CD,\,\,AK \bot SH\). Chứng minh \(AK \bot \left( {SCD} \right)\).

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AK\).

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow BO \bot AC \Rightarrow B,\,\,O,\,\,D\) thẳng hàng.

Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(B \Rightarrow \angle BAC = \angle BCA = {30^0} \Rightarrow \angle ABC = {120^0}\). Dễ thấy \(ABCD\) là hình thoi nên \(\angle ADC = \angle ABC = {120^0}\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot CD\,\,\left( {H \in CD} \right)\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\).

Ta có : \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AH\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow CD \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SH\\AK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AK\end{array}\).

Lại có \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = AK\).

Ta có : \(AH = AD.\sin \angle ADH = a.\sin 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác vuông SAH có : \(AK = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.