Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Tan của góc giữa mặt bên và mặt

Câu hỏi số 310015:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Tan của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng :

A. \(\sqrt 2 \)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310015

Phương pháp giải

+) Xác định góc giữa mặt bên và đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc 2 mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

+) Tính tan của góc xác định được.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(S.ABCD\) là chóp đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) ta có: \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(BCD \Rightarrow OM//BC\).

\( \Rightarrow OM \bot CD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO\).

Ta có \(OM = \dfrac{a}{2}\). \(\Delta SCD\) đều cạnh \(a \Rightarrow SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOM\) ta có: \(SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow \tan \angle SMO = \dfrac{{SO}}{{OM}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.