Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt

Câu hỏi số 310414:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là:

A. \(\frac{{a\sqrt {11} }}{{\sqrt {47} }}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(\frac{{a\sqrt {26} }}{{\sqrt {107} }}\).

D. \(\frac{a}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310414

Phương pháp giải

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( Q \right)\\A \in \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\left( Q \right)} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}a//\left( Q \right)\\A,B \in a\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A;\left( Q \right)} \right) = d\left( {B;\left( Q \right)} \right) = d\left( {a;\left( Q \right)} \right)\end{array}\)

Giải chi tiết

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng hình chữ nhật ANBD.

Kẻ GI // BC \(\left( {I \in BD} \right)\), \(GH \bot A'I\,\left( {H \in A'I} \right)\)

+) Ta có: \(C'N//\left( {A'MB} \right)\) (do \(C'N//MB\)) \( \Rightarrow d\left( {C';\left( {A'BM} \right)} \right) = d\left( {N;\left( {A'BM} \right)} \right)\)

Mà \(GN//\left( {A'BM} \right)\) (do \(GN//A'M\)) \( \Rightarrow d\left( {N;\left( {A'BM} \right)} \right) = d\left( {G;\left( {A'BM} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {C';\left( {A'BM} \right)} \right) = d\left( {G;\left( {A'BM} \right)} \right)\)

+) Ta có: \(BD//AN,\,\,AN//A'M \Rightarrow BD//A'M \Rightarrow A',M,B,D\) đồng phẳng

+) \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot GI\,\,\left( {do\,\,ANBD\,la\,HCN} \right)\\BD \bot A'G\,\,\left( {do\,\,A'G \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {A'GI} \right) \Rightarrow BD \bot GH\)

Mà \(A'I \bot GH\,\, \Rightarrow GH \bot \left( {A'MB} \right) \Rightarrow d\left( {G;\left( {A'BM} \right)} \right) = GH\)

+) Tính GH:

\(\Delta ABC\) đều, cạnh a \( \Rightarrow AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\Delta AA'G\) vuông tại G \( \Rightarrow A'G = \sqrt {AA{'^2} - A{G^2}} = \sqrt {4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\frac{{11}}{3}} a\)

\(GNBI\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow GI = NB = \frac{a}{2}\)

\(\Delta A'GI\) vuông tại G, \(GH \bot A'I \Rightarrow \frac{1}{{G{H^2}}} = \frac{1}{{G{I^2}}} + \frac{1}{{A'{G^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{11}}{3}{a^2}}} = \frac{{47}}{{11{a^2}}} \Rightarrow GH = \sqrt {\frac{{11}}{{47}}} a\)

\( \Rightarrow d\left( {C';\left( {A'BM} \right)} \right) = \frac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt {47} }}a\)

Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.