Tính tổng \(T\) của các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({e^x} + \left( {{m^2} -

Câu hỏi số 310837:

Vận dụng

Tính tổng \(T\) của các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({e^x} + \left( {{m^2} - m} \right){e^{ - x}} = 2m\) có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn \(\frac{1}{{\log e}}.\)

A. \(T = 28\)

B. \(T = 20\)

C. \(T = 21\)

D. \(T = 27\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310837

Phương pháp giải

+) Đặt \(t = {e^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\), đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

+) Tìm điều kiện của ẩn \(t\), sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

\({e^x} + \left( {{m^2} - m} \right){e^{ - x}} = 2m \Leftrightarrow {e^{2x}} - 2m{e^x} + {m^2} - m = 0\)

Đặt \(t = {e^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\), phương trình trở thành \({t^2} - 2mt + {m^2} - m = 0\) (*).

Ta có \(x < \dfrac{1}{{\log e}} \Leftrightarrow t = {e^x} < {e^{\dfrac{1}{{\log e}}}} = {e^{\ln 10}} = 10\).

Bài toán trở thành tìm điều kiện để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn \(0 < {t_1} < {t_2} < 10\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' = {m^2} - {m^2} + m > 0}\\{0 < S = 2m < 20}\\{P = {m^2} - m > 0}\\{\left( {{t_1} - 10} \right)\left( {{t_2} - 10} \right) > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{0 < m < 10}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.}\\{{m^2} - m - 10.2m + 100 > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 < m < 10}\\{{m^2} - 21m + 100 > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 < m < 10}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \dfrac{{21 + \sqrt {41} }}{2}}\\{m < \dfrac{{21 - \sqrt {41} }}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 < m < \dfrac{{21 - \sqrt {41} }}{2}\)

Kết hợp điều kiện\(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow T = \left\{ {2;3;4;5;6;7} \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của \(T\) bằng 27.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.