Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\); tứ giác \(ABCD\)

Câu hỏi số 311287:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\); tứ giác \(ABCD\) là hình thang vuông với cạnh đáy \(AD,BC\); \(AD = 3BC = 3a,\,\,AB = a,SA = a\sqrt 3 \). Điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AI} \); \(M\) là trung điểm \(SD\), \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(SI\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SB\), \(SC.\) Tính thể tích \(V\) của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EFH\) và đỉnh thuộc mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\).

A. \(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{2\sqrt 5 }}\).

B. \(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{\sqrt 5 }}\).

C. \(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{10\sqrt 5 }}\).

D. \(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{5\sqrt 5 }}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:311287

Phương pháp giải

- Chứng minh tứ giác \(AEFH\) nội tiếp, từ đó tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EHF\).

- Tìm đỉnh hình nón và tính chiều cao, bán kính đáy rồi suy ra thể tích.

Giải chi tiết

Xét tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có \(SA = a\sqrt 3 ,AD = 3a \Rightarrow \widehat {SDA} = {30^0}\) \( \Rightarrow \widehat {MAI} = {30^0}\).

Lại có tam giác \(SAI\) vuông tại \(A\) có \(SA = a\sqrt 3 ,AI = a \Rightarrow \widehat {SIA} = {60^0}\) nên tam giác \(AHI\) có \(\widehat H = {90^0}\) hay \(AH \bot SI\)

Mà \(AH \bot IC\) do \(IC//BA \bot \left( {SAD} \right)\) nên \(AH \bot \left( {SIC} \right)\) \( \Rightarrow AH \bot SC\).

Ngoài ra, \(AE \bot SB,AE \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAB} \right)} \right) \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AE \bot SC\).

Mà \(AF \bot SC\) nên \(SC \bot \left( {AEFH} \right)\) và \(AEFH\) là tứ giác có \(\widehat E = \widehat H = {90^0}\) nên nội tiếp đường tròn tâm \(K\) là trung điểm \(AF\) đường kính \(AF\).

Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\) thì \(OK//SC\), mà \(SC \bot \left( {AEFH} \right)\) nên \(OK \bot \left( {AEFH} \right)\) hay \(O\) chính là đỉnh hình nón và đường tròn đáy là đường tròn đường kính \(AF\).

Ta tính \(AF,OK\).

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) đường cao \(AF\) nên

\(AF = \dfrac{{SA.AC}}{{SC}} = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\); \(OK = \dfrac{1}{2}CF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{C{A^2}}}{{CS}} = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy thể tích \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{a}{{\sqrt 5 }}.{\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{10\sqrt 5 }}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.