Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I. Gọi M là điểm đối xứng
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I. Gọi M là điểm đối xứng của D qua C. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C và D trên đường thẳng AM. Biết \(K\left( {1;1} \right)\), đỉnh B thuộc đường thẳng \(d\,\,:\,\,5x + 3y - 10 = 0\) và đường thẳng HI có phương trình \(3x + y + 1 = 0\) . Tìm tọa độ đỉnh B.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(Q = KI \cap DH\). Chứng minh KBHQ là hình vuông từ đó suy ra \(d\left( {B;HI} \right) = 2d\left( {K;HI} \right).\)
Gọi tọa độ điểm B theo 1 chữ, thay vào biểu thức trên để tìm B.
Loại nghiệm bởi dữ kiện K và B nằm cùng phía đối với đường thẳng HI.
Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow d\left( {{M_0};\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
Gọi \(Q = KI \cap DH\).
Vì \(CH \bot AH\;\left( {gt} \right) \Rightarrow A,\;C,\;H\) cùng thuộc một đường tròn tâm I .
\( \Rightarrow A,\;B,\;C,\;D,\;H\) cùng thuộc một đường tròn tâm I .
Ta có: \(\angle ADK + \angle DAM = {90^o}\) (\(\Delta ADK\) vuông tại K)
\(\angle CMH + \angle DAM = {90^o}\) (\(\Delta ADM\) vuông tại D)
\( \Rightarrow \angle ADK = \angle CMH\) (cùng phụ với \(\angle DAM\))
Xét \(\Delta DKA\) và \(\Delta MHC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle DKA = \angle MHC = {90^o}\,\\MC = DA\,\,\left( { = CD} \right)\\\angle ADK = \angle CMH\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta DKA = \Delta MHC\;\;\left( {ch - gn} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow AK = CH\) (2 cạnh tương ứng)
Lại có: \(AB = CB\) (ABCD là hình vuông)
\(\angle KAB = \angle HCB\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BH)
\( \Rightarrow \Delta AKB = \Delta CHB\;\;\left( {c - g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}KB = HB\,\,(1)\,\,\,\\\angle ABK = \angle CBH\end{array} \right.\) (các cạnh và các góc tương ứng).
Ta có: \(\angle ABK + \angle KBC = \angle ABC = {90^o}\) (ABCD là hình vuông)
\( \Rightarrow \angle CBH + \angle KBC = {90^o} = \angle KBH\;\;\left( 2 \right)\)
\( \Rightarrow \Delta KBH\) vuông cân tại B
\( \Rightarrow \angle BHK = {45^o}\)
Ta có: \(\angle QHB = \angle DHB = {90^o}\) (3) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle DHK = \angle DHB - \angle BHK = {90^o} - {45^o} = {45^o}\)
\( \Rightarrow \Delta DKH\) vuông cân tại K
\( \Rightarrow KD = KH\;\;\left( {tc} \right)\)
Mà \(ID = IH\) (5 điểm A, B, C, D, H cùng thuộc một đường tròn tâm I)
\( \Rightarrow \) KI là đường trung trực của DH \( \Rightarrow KI \bot DH\)
\( \Rightarrow \angle KQH = {90^o}\) kết hợp (1), (2), (3)
\( \Rightarrow \) KBHQ là hình vuông
Lại có: \(IB = IH\) (5 điểm A, B, C, D, H cùng thuộc một đường tròn tâm I)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow IK = IQ = \frac{1}{2}KQ = \frac{1}{2}BH\\ \Rightarrow d\left( {K;HI} \right) = \frac{1}{2}d\left( {B;HI} \right) = \frac{{\left| {3 + 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\\ \Rightarrow d\left( {B;HI} \right) = \sqrt {10} .\end{array}\)
Ta có đỉnh B thuộc đường thẳng \(d\,\,:\,\,5x + 3y - 10 = 0\)
\( \Rightarrow \) Gọi \(B\left( {\frac{{10 - 3t}}{5};t} \right) \in d\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {B;HI} \right) = \frac{{\left| {3.\frac{{10 - 3t}}{5} + t + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \sqrt {10} \Leftrightarrow \frac{{\left| {30 - 9t + 5t + 5} \right|}}{{5\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow \left| { - 4t + 35} \right| = 50 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4t + 35 = 50\\ - 4t + 35 = - 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{15}}{4}\\t = \frac{{85}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}B\left( {\frac{{17}}{4}; - \frac{{15}}{4}} \right)\\B\left( { - \frac{{43}}{4};\frac{{85}}{4}} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Do K và B nằm cùng phía đối với đường thẳng HI nên \(B\left( {\frac{{17}}{4}; - \frac{{15}}{4}} \right)\) thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
