a) Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính \(\cos \left(

Câu hỏi số 313721:

Vận dụng

a) Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\)

b) Chứng minh rằng \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}}\), với giả thiết các biểu thức có nghĩa.

A. \( - \frac{{\sqrt {10} + 2\sqrt 2 }}{6}\)

B. \(\frac{{\sqrt {10} + 2\sqrt 2 }}{6}\)

C. \( - \frac{{\sqrt {10} - 2\sqrt 2 }}{6}\)

D. \( - \frac{{\sqrt {10} - \sqrt 2 }}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:313721

Phương pháp giải

a) Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) để tính \(\cos \alpha \), từ đó tính \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) bởi công thức: \(\cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \)

b) Sử dụng các công thức lượng giác biến đổi VT và VP về cùng bằng 1 biểu thức thứ 3

\(\begin{array}{l}\tan \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha \pm \tan \beta }}{{1 \mp \tan \alpha .\tan \beta }};\;\;\;\; & \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\; & & & \sin 2x = 2\sin x\cos x\\\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x.\end{array}\)

Giải chi tiết

a) Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Ta có: \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha < 0\)

\(\sin \alpha = \frac{2}{3} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

\(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{4} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{4} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt {10} + 2\sqrt 2 }}{6}\)

b) Chứng minh rằng \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}}\), với giả thiết các biểu thức có nghĩa.

\(\begin{array}{l}VT = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}} = \frac{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}}.\\VP = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x - 2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}\\\;\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}}{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}} = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}}.\\ \Rightarrow VT = VP\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10