a) Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính \(\cos \left(

Câu hỏi số 313721:

Vận dụng

a) Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\)

b) Chứng minh rằng \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}}\), với giả thiết các biểu thức có nghĩa.

A. \( - \frac{{\sqrt {10} + 2\sqrt 2 }}{6}\)

B. \(\frac{{\sqrt {10} + 2\sqrt 2 }}{6}\)

C. \( - \frac{{\sqrt {10} - 2\sqrt 2 }}{6}\)

D. \( - \frac{{\sqrt {10} - \sqrt 2 }}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:313721

Phương pháp giải

a) Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) để tính \(\cos \alpha \), từ đó tính \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) bởi công thức: \(\cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \)

b) Sử dụng các công thức lượng giác biến đổi VT và VP về cùng bằng 1 biểu thức thứ 3

\(\begin{array}{l}\tan \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha \pm \tan \beta }}{{1 \mp \tan \alpha .\tan \beta }};\;\;\;\; & \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\; & & & \sin 2x = 2\sin x\cos x\\\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x.\end{array}\)

Giải chi tiết

a) Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Ta có: \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha < 0\)

\(\sin \alpha = \frac{2}{3} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

\(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{4} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{4} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt {10} + 2\sqrt 2 }}{6}\)

b) Chứng minh rằng \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}}\), với giả thiết các biểu thức có nghĩa.

\(\begin{array}{l}VT = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}} = \frac{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}}.\\VP = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x - 2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}\\\;\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}}{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}} = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}}.\\ \Rightarrow VT = VP\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.