Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = 2{x^2} + 5{y^2} - 2xy + 2y + 2x\)

Câu hỏi số 314756:

Vận dụng cao

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \( - 1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:314756

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức \(M\) về dạng tổng các bình phương cộng hoặc trừ một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(M\) bằng giá trị hằng số.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;M = 2{x^2} + 5{y^2}-2xy + 2y + 2x\\ \Leftrightarrow M = 2{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}}(y - 1) + 5{y^2} + 2y\\ \Leftrightarrow M = 2\left[ {{x^2} - x(y - 1)} \right] + 5{y^2} + 2y\\ \Leftrightarrow M = 2\left[ {{x^2} - 2.x.\frac{1}{2}\left( {y - 1} \right) + \frac{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{4}} \right] - \frac{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{2} + 5{y^2} + 2y\\ \Leftrightarrow M = 2{\left( {x - \frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} + \frac{9}{2}{y^2} + 3y - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow M = 2{\left( {x - \frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}\left( {9{y^2} + 6y + 1} \right) - 1\\ \Leftrightarrow M = 2{\left( {x - \frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {3y + 1} \right)^2} - 1 \ge - 1\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} \ge 0\;\forall x,\;y\\{\left( {3y + 1} \right)^2} \ge 0\;\forall x,\;y\end{array} \right. \Rightarrow M \ge - 1\;\forall x,\;y\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{{y - 1}}{2} = 0\\3y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{y - 1}}{2}\\y = - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{2}{3}\\y = - \frac{1}{3}\end{array} \right..\)

Vậy \(Min\;\;M = - 1\;\;khi\;\;\;x = - \frac{2}{3};\;y = - \frac{1}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link