Cho tam giác ABC có \(AB < AC,\;D\) nằm giữa A và C sao cho \(\angle AB{\rm{D}} = \angle ACB.\) a) Chứng

Câu hỏi số 314755:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC có \(AB < AC,\;D\) nằm giữa A và C sao cho \(\angle AB{\rm{D}} = \angle ACB.\)

a) Chứng minh: \(\Delta A{\rm{D}}B\) đồng dạng \(\Delta ABC\), từ đó suy ra \(A{B^2} = {\rm{ }}AC.AD;\)

b) Biết \({S_{\Delta ABC}} = 16c{m^2},\;AB = 6cm,\;\;AC = 8cm.\) Tính diện tích \(\Delta AB{\rm{D}}\);

c) Phân giác của góc A cắt BC tại E, cắt BD tại F. Chứng minh rằng \(\frac{{F{\rm{D}}}}{{FB}} = \frac{{EB}}{{EC}}\);

d) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt BC tại M.

Chứng minh rằng: \(MB.EC = MC.EB.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:314755

Phương pháp giải

a) Chứng minh 2 tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc.

b) Áp dụng định lý: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

c) Áp dụng tính chất đường phân giác, tìm các tỉ lệ thức phù hợp sau đó áp dụng tính chất bắc cầu để tìm ra điều phải chứng minh.

d) Áp dụng tính chất đường phân giác đối với tia phân giác ngoài của tam giác, kết hợp với kết quả câu c để chứng minh yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta A{\rm{D}}B\)và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AB{\rm{D}} = \angle ACB\;\;\left( {gt} \right)\\\angle A\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta A{\rm{D}}B \sim \Delta ABC\;\;\left( {g - g} \right)\;\;\left( {dpcm} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.A{\rm{D}}\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

b) Ta có \(\Delta A{\rm{D}}B \sim \Delta ABC\;\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta A{\rm{D}}B}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{{S_{\Delta A{\rm{D}}B}}}}{{16}} = {\left( {\frac{6}{8}} \right)^2} \Leftrightarrow {S_{\Delta A{\rm{DB}}}} = \frac{{{6^2}.16}}{{{8^2}}} = 9c{m^2} \Leftrightarrow {S_{\Delta AB{\rm{D}}}} = 9c{m^2}\).

c) Xét tam giác ABD có AF là phân giác góc A.

\( \Rightarrow \frac{{F{\rm{D}}}}{{FB}} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}}\) (tính chất đường phân giác) (1)

Xét tam giác ABC có AE là phân giác góc A.

\( \Rightarrow \frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (tính chất đường phân giác) (2)

Mà \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}}\) (chứng minh câu a) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{{F{\rm{D}}}}{{FB}} = \frac{{EB}}{{EC}}\;\;\left( {dpcm} \right)\)

d) Ta có \(AM \bot A{\rm{E}}\) (theo giả thiết)

\( \Rightarrow \) AM là phân giác ngoài của tam giác ABC (Vì AE là phân giác trong của tam giác ABC)

Theo định lý về tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Mà: \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (chứng minh ở câu c)

\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{EB}}{{EC}} \Leftrightarrow MB.EC = MC.EB\) (điều phải chứng minh)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link