Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(\widehat C = 60^\circ \), \(AC = 2\), \(SA \bot

Câu hỏi số 315675:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(\widehat C = 60^\circ \), \(AC = 2\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = 1\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khoảng cách \(d\) giữa \(SM\) và \(BC\) là

A. \(d = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).

B. \(d = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{7}\).

C. \(d = \dfrac{{\sqrt {21} }}{3}\).

D. \(d = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315675

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết: \(d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)\), ở đó \(a,b\) là hai đường thẳng chéo nhau, \(b \subset \left( P \right)\), \(A \in a\).

Áp dụng: Tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng \(SM\) mà song song với \(BC\), từ đó suy ra khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(MN//BC \Rightarrow BC//\left( {SMN} \right)\).

Suy ra \(d\left( {SM,BC} \right) = d\left( {BC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SMN} \right)} \right)\).

Mà \(BA \cap \left( {SMN} \right) = M,MA = MB\) nên \(d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {AMN} \right)} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(SM\) \( \Rightarrow AH \bot SM\).

Lại có \(MN//BC \Rightarrow MN \bot AB\) và \(MN \bot SA\) \( \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot AH\).

Từ đó suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = AH\).

Ta tính \(AH\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(\widehat C = {60^0}\) và \(AC = 2\) nên \(AB = AC\sin {60^0} = \sqrt 3 \Rightarrow AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường cao \( \Rightarrow AH = \dfrac{{AS.AM}}{{SM}} = \dfrac{{AS.AM}}{{\sqrt {A{S^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{1.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{3}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {SM,BC} \right) = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.