Biết tích phân \(\int\limits_0^{\ln 6} {\dfrac{{{e^x}}}{{1 + \sqrt {{e^x} + 3} }}dx = a + b\ln 2 + c\ln 3} \) với

Câu hỏi số 318263:

Vận dụng

Biết tích phân \(\int\limits_0^{\ln 6} {\dfrac{{{e^x}}}{{1 + \sqrt {{e^x} + 3} }}dx = a + b\ln 2 + c\ln 3} \) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Tính \(T = a + b + c\).

A. \(T = 2\).

B. \(T = 1\).

C. \(T = 0\).

D. \(T = - 1\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318263

Phương pháp giải

Đặt \(1 + \sqrt {{e^x} + 3} = t\)

Giải chi tiết

Đặt \(1 + \sqrt {{e^x} + 3} = t\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{e^x} + 3} = t - 1 \Leftrightarrow {e^x} + 3 = {\left( {t - 1} \right)^2} \Rightarrow {e^x}dx = 2\left( {t - 1} \right)dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 3\\x = \ln 6 \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\ln 6} {\dfrac{{{e^x}}}{{1 + \sqrt {{e^x} + 3} }}dx} = \int\limits_3^4 {\dfrac{{2\left( {t - 1} \right)}}{t}dt} = 2\int\limits_3^4 {\left( {1 - \dfrac{1}{t}} \right)dt} = \left. {\left( {2t - 2\ln \left| t \right|} \right)} \right|_3^4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {8 - 2\ln 4} \right) - \left( {6 - 2\ln 3} \right) = 2 - 4\ln 2 + 2\ln 3\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\\c = 2\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow T = a + b + c = 0\).

Chọn: C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.