Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}}

Câu hỏi số 318264:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\) và \(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\). Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{f^2}\left( x \right)dx} = \dfrac{\pi }{8}\), \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f'\left( x \right)\sin 2xdx} = - \dfrac{\pi }{4}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{8}} {f\left( {2x} \right)dx} \).

A. \(I = \dfrac{1}{2}\).

B. \(I = \dfrac{1}{4}\).

C. \(I = 2\).

D. \(I = 1\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318264

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f'\left( x \right)\sin 2xdx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xd\left( {f\left( x \right)} \right)} = \left. {\left( {\sin 2x.f\left( x \right)} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)d\left( {\sin 2x} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - 0 - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)\cos 2xdx} = - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)\cos 2xdx} = - \dfrac{\pi }{4}\\ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)\cos 2xdx} = \dfrac{\pi }{8} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{f^2}\left( x \right)dx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)\cos 2xdx} = 0\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)\cos 2x} \right)dx} = 0 \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = \cos 2x\end{array} \right.\end{array}\)

\(f\left( x \right) = 0\): Loại, do \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{f^2}\left( x \right)dx} = \dfrac{\pi }{8}\)

\(f\left( x \right) = \cos 2x \Rightarrow \)\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {f\left( {2x} \right)dx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {\cos 4xdx} = \left. {\dfrac{1}{4}\sin 4x} \right|_0^{\frac{\pi }{8}} = \dfrac{1}{4}\).

Chọn: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.