Cho hàm số y = x3+ -3mx2+ 3(m2-1)x -m3+ 5m (1), trong đó m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số (1) khi m=1. b) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị A, B, đồng thời trung điểm I của AB chạy trên một đường thẳng cố định.

Câu hỏi số 31833:

Cho hàm số y = x³+ -3mx²+ 3(m²-1)x -m³+ 5m (1), trong đó m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số (1) khi m=1.

b) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị A, B, đồng thời trung điểm I của AB chạy trên một đường thẳng cố định.

A. Click để xem đáp án.

B. Click để xem đáp án.

C. Click để xem đáp án.

D. Click để xem đáp án.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:31833

Giải chi tiết

a. Khảo sát

+ TXĐ: D=R

+ Sự biến thiên: y’=3x²-6x; y'=0 $\Leftrightarrow$ x=0 hoặc x=2

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (- $\infty$ ; 0) và (2; + $\infty$ ); nghịch biến trên (0;2); y_CĐ=4, y_CT=0

+ Bảng biến thiên:

+ Vẽ đúng đồ thị:

Ta có: y’=3x²-6mx+3(m²-1); y'=0 $\Leftrightarrow$ $\left [ \begin{matrix} x=m-1 & \\ x=m+1 & \end{matrix}\right.$

Lập bảng biến thiên (hoặc có thể lập luận : vì y'=0 có hai nghiệm phân biệt nên y' đổi dấu hai lần khi x chạy qua các nghiệm ) suy ra hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị.

Giả sử: $\left\{\begin{matrix} x=m-1\Rightarrow y_{A}=2m+2 & \\ x=m+1\Rightarrow y_{B}=2m-2 & \end{matrix}\right.$

Từ đó suy ra tọa độ điểm I(m;2m) có $\left\{\begin{matrix} x=m & \\ y=2m & \end{matrix}\right.$ từ đó thay m=x vào y=2m ta đc:

Vậy I luôn chạy trên đường thẳng y=2x

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.