Cho \(a\) và \(b\) là các số nguyên dương. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left(

Câu hỏi số 320216:

Vận dụng cao

Cho \(a\) và \(b\) là các số nguyên dương. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} + ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \frac{7}{{27}}\) , hỏi \(a\) và \(b\) thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?

A. \(a + 2b = 33\)

B. \(a + 2b = 34\)

C. \(a + 2b = 35\)

D. \(a + 2b = 36\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320216

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để tính giới hạn theo \(a,\,\,b.\) Từ đó tìm được biểu thức liên hệ giữa \(a,\,b.\) Kết hợp với điều kiện \(a,\,\,b \in {Z^ + }\) và các đáp án để chọn đáp án đúng nhất.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} + ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\left( {\sqrt {9{x^2} + ax} + 3x} \right) + \left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} - 3x} \right)} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {9{x^2} + ax} + 3x} \right)\left( {\sqrt {9{x^2} + ax} - 3x} \right)}}{{\sqrt {9{x^2} + ax} - 3x}} + \frac{{\left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} - 3x} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {27{x^3} + b{x^2} + 5} \right)}^2}}} + 3x\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} + 9{x^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {27{x^3} + b{x^2} + 5} \right)}^2}}} + 3x\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} + 9{x^2}}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{{9{x^2} + ax - 9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + ax} - 3x}} + \frac{{27{x^3} + b{x^2} + 5 - 27{x^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {27{x^3} + b{x^2} + 5} \right)}^2}}} + 3x\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} + 9{x^2}}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{{ax}}{{\sqrt {9{x^2} + ax} - 3x}} + \frac{{b{x^2} + 5}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {27{x^3} + b{x^2} + 5} \right)}^2}}} + 3x\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} + 9{x^2}}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{a}{{\left( { - \sqrt {9 + \frac{a}{x}} - 3} \right)}} + \frac{{b + \frac{5}{{{x^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {27 + \frac{b}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)}^2}}} + 3\sqrt[3]{{27 + \frac{b}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}} + 9}}} \right]\\ = - \frac{a}{6} + \frac{b}{{27}} = \frac{{2b - 9a}}{{54}}.\\ \Rightarrow \frac{{2b - 9a}}{{54}} = \frac{7}{{27}} \Leftrightarrow 2b - 9a = 14\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Kết hợp phương trình \(\left( 1 \right)\) với một trong các đáp án để tìm \(a,\,\,b \in {\mathbb{Z}^ + }\) thỏa mãn bài toán.

+) Đáp án A: Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 33\\ - 9a + 2b = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{19}}{{10}}\\b = \frac{{321}}{{20}}\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right) \Rightarrow \) loại đáp án A.

+) Đáp án B: Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 34\\2b - 9a = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 16\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \) chọn đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.