Tìm số thực \(m > 1\) thỏa mãn \(\int\limits_1^m {x\left( {2\ln x + 1} \right)dx} = 2{m^2}\).

Câu hỏi số 320550:

Vận dụng

A. \(m = e\).

B. \(m = 2\).

C. \(m = 0\).

D. \(m = {e^2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320550

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^m {x\left( {2\ln x + 1} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^m {\left( {2\ln x + 1} \right)d\left( {{x^2}} \right)} = \left. {\dfrac{1}{2}\left( {2\ln x + 1} \right){x^2}} \right|_1^m - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^m {{x^2}d\left( {2\ln x + 1} \right)} \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\left( {2\ln m + 1} \right){m^2} - 1} \right) - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^m {{x^2}.\dfrac{2}{x}dx} = \dfrac{1}{2}\left( {2{m^2}\ln m + {m^2} - 1} \right) - \int\limits_1^m {xdx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( {2{m^2}\ln m + {m^2} - 1} \right) - \left. {\dfrac{1}{2}{x^2}} \right|_1^m = \dfrac{1}{2}\left( {2{m^2}\ln m + {m^2} - 1} \right) - \dfrac{{{m^2}}}{2} + \dfrac{1}{2} = {m^2}\ln m\end{array}\)

Mà \(\int\limits_1^m {x\left( {2\ln x + 1} \right)dx} = 2{m^2} \Rightarrow {m^2}\ln m = 2{m^2} \Leftrightarrow {m^2}\left( {\ln m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,(L)\\\ln m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = {e^2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.