Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC'\)

Câu hỏi số 321199:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).

A. \(a\sqrt 2 \)

B. \(2a\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321199

Phương pháp giải

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường này và mặt phẳng song song với nó chứa đường kia.

+) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh.

Giải chi tiết

Ta có \(AD'//BC' \Rightarrow BC'//\left( {ACD'} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {BC';CD'} \right) = d\left( {BC';\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACD'} \right)} \right)\) .

Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có \(BD \cap \left( {ACD'} \right) = O\)

\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {ACD'} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right)}} = \dfrac{{BO}}{{DO}} = 1 \Rightarrow d\left( {B;\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot OD\\AC \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {ODD'} \right)\).

Trong \(\left( {ODD'} \right)\) kẻ \(DH \bot OD' \Rightarrow DH \bot AC\)

\( \Rightarrow DH \bot \left( {ACD'} \right) \Rightarrow DH = d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right)\)

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OD = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ODD'\) ta có:

\(DH = \dfrac{{DO.DD'}}{{\sqrt {D{O^2} + DD{'^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {BC';CD'} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.