Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f\left( x \right) = x + \dfrac{2}{{x - 1}}\) với \(x >

Câu hỏi số 321948:

Thông hiểu

Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f\left( x \right) = x + \dfrac{2}{{x - 1}}\) với \(x > 1\).

A. \(m = 1 - 2\sqrt 2 \)

B. \(m = 1 + 2\sqrt 2 \)

C. \(m = 1 - \sqrt 2 \)

D. \(m = 1 + \sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321948

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Cô-si cho hai số ... Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y\).

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = x + \dfrac{2}{{x - 1}} = x - 1 + \dfrac{2}{{x - 1}} + 1\).

Do \(x > 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\\dfrac{2}{{x - 1}} > 0\end{array} \right.\). Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(x - 1,\,\,\dfrac{2}{{x - 1}}\) ta có :

\(x - 1 + \dfrac{2}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\dfrac{2}{{x - 1}}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow x - 1 + \dfrac{2}{{x - 1}} + 1 \ge 2\sqrt 2 + 1\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x - 1 = \dfrac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \sqrt 2 \\x - 1 = - \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\\x = 1 - \sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(f\left( x \right) \ge 2\sqrt 2 + 1 \Rightarrow \min f\left( x \right) = 1 + 2\sqrt 2 \Rightarrow m = 1 + 2\sqrt 2 \) đạt được khi \(x = 1 + \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10