Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt

Câu hỏi số 321954:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} \).

A. \(m = \sqrt 2 ,\,\,M = 3\)

B. \(m = 3,\,\,M = 3\sqrt 2 \)

C. \(m = \sqrt 2 ,\,\,M = 3\sqrt 2 \)

D. \(m = \sqrt 3 ,\,\,M = 3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321954

Phương pháp giải

+) Tìm ĐKXĐ của hàm số.

+) Sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

+) Đánh giá, sử dụng BĐT Cô-si, chứng minh \(m \le f\left( x \right) \le M\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\6 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le x \le 6\).

Ta có \({f^2}\left( x \right) = x + 3 + 6 - x + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} = 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \)

+) Ta có \(2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \ge 0 \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) \ge 9 \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 3\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\6 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 6\end{array} \right.\).

+) Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \le \dfrac{{3 + x + 6 - x}}{2} = \dfrac{9}{2}\)

\( \Rightarrow {f^2}\left( x \right) \le 9 + 2.\dfrac{9}{2} = 18 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le 3\sqrt 2 \).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow 3 + x = 6 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\).

Vậy \(3 \le f\left( x \right) \le 3\sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\M = 3\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.