Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt

Câu hỏi số 321954:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} \).

A. \(m = \sqrt 2 ,\,\,M = 3\)

B. \(m = 3,\,\,M = 3\sqrt 2 \)

C. \(m = \sqrt 2 ,\,\,M = 3\sqrt 2 \)

D. \(m = \sqrt 3 ,\,\,M = 3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321954

Phương pháp giải

+) Tìm ĐKXĐ của hàm số.

+) Sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

+) Đánh giá, sử dụng BĐT Cô-si, chứng minh \(m \le f\left( x \right) \le M\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\6 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le x \le 6\).

Ta có \({f^2}\left( x \right) = x + 3 + 6 - x + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} = 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \)

+) Ta có \(2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \ge 0 \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) \ge 9 \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 3\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\6 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 6\end{array} \right.\).

+) Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \le \dfrac{{3 + x + 6 - x}}{2} = \dfrac{9}{2}\)

\( \Rightarrow {f^2}\left( x \right) \le 9 + 2.\dfrac{9}{2} = 18 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le 3\sqrt 2 \).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow 3 + x = 6 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\).

Vậy \(3 \le f\left( x \right) \le 3\sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\M = 3\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10