Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có các số hạng đều dương, số hạng đầu \({u_1} = 1\) và tổng

Câu hỏi số 323999:

Vận dụng

Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có các số hạng đều dương, số hạng đầu \({u_1} = 1\) và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14 950. Tính giá trị của tổng

\(S = \dfrac{1}{{{u_2}\sqrt {{u_1}} + {u_1}\sqrt {{u_2}} }} + \dfrac{1}{{{u_3}\sqrt {{u_2}} + {u_2}\sqrt {{u_3}} }} + ... + \dfrac{1}{{{u_{2018}}\sqrt {{u_{2017}}} + {u_{2017}}\sqrt {{u_{2018}}} }}\)

A. \(\dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {6052} }}} \right).\)

B. \(1 - \dfrac{1}{{\sqrt {6052} }}.\)

C. \(2018.\)

D. \(1.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:323999

Phương pháp giải

- Tìm công sai \(d\) dựa vào công thức tổng \(S = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

- Rút gọn tổng cần tính giá trị và tính toán.

Giải chi tiết

Gọi d là công sai của \(({u_n})\), theo giả thiết ta có: \({S_{100}} = \dfrac{1}{2}.100.\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 14\,950 \Rightarrow d = 3.\)

Ta có: \(3 = d = {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = ... = {u_{k + 1}} - {u_k} = ... = {u_{2018}} - {u_{2017}}.\)

Từ đó suy ra với mọi số nguyên dương k:

\(\dfrac{1}{{{u_{k + 1}}\sqrt {{u_k}} + {u_k}\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}{u_{k + 1}}} \left( {\sqrt {{u_{k + 1}}} + \sqrt {{u_k}} } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {{u_{k + 1}}} - \sqrt {{u_k}} }}{{\sqrt {{u_k}{u_{k + 1}}} \left( {{u_{k + 1}} - {u_k}} \right)}} = \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{k + 1}}} }}} \right).\)

Áp dụng hệ thức trên nhiều lần, ta được

\(S = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_3}} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2017}}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right)\)\(\)

Với \({u_{2018}} = {u_1} + 2017d = 6052 \Rightarrow S = \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {6052} }}} \right).\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.