Cho hàm số \(y = {\left( {x + a} \right)^3} + {\left( {x + b} \right)^3} - {x^3}\) với \(a,b\) là các số

Câu hỏi số 324009:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = {\left( {x + a} \right)^3} + {\left( {x + b} \right)^3} - {x^3}\) với \(a,b\) là các số thực . Khi hàm số đồng biến trên \(R\) , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {a + b} \right) - ab\)

A. \(MinA = - 2\)

B. \(MinA = - \dfrac{1}{{16}}\)

C. \(MinA = - \dfrac{1}{4}\)

D. \(MinA = 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324009

Phương pháp giải

- Tính \(y'\).

- Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y' \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)

- Biến đổi \(A\) về làm xuất hiện hằng đẳng thức và đánh giá GTNN.

Giải chi tiết

TXĐ \(D = \mathbb{R}.\)

Ta có \(y' = 3{\left( {x + a} \right)^2} + 3{\left( {x + b} \right)^2} - 3{x^2} = 3\left( {{x^2} + 2\left( {a + b} \right)x + {a^2} + {b^2}} \right)\)

Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y' \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {a + b} \right)x + {a^2} + {b^2} \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' = 2ab \le 0 \Leftrightarrow ab \le 0\)

Khi đó \(A = 4{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) - 9ab = {\left( {2\left( {a + b} \right) - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - 9ab - \dfrac{1}{{16}} \ge - \dfrac{1}{{16}},\,\,\forall ab \le 0\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {a + b} \right) - \dfrac{1}{4} = 0\\ab = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{8},b = 0\\a = 0,b = \dfrac{1}{8}\end{array} \right.\). Vậy \(MinA = - \dfrac{1}{{16}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.