Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} =

Câu hỏi số 324010:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\) và hai điểm \(A\left( {0; - 1;3} \right)\), \(B\left( {1; - 2;1} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho \(M{A^2} + 2M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(M\left( {5;2; - 4} \right)\).

B. \(M\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\).

C. \(M\left( {1;0; - 2} \right)\).

D. \(M\left( {3;1; - 3} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324010

Phương pháp giải

+ Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) về dạng tham số \(t\). Biểu diễn tọa độ điểm \(M\) theo \(t.\)

+ Tính \(M{A^2} = {\left( {{x_A} - {x_M}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - {y_M}} \right)^2} + {\left( {{z_A} - {z_M}} \right)^2};M{B^2} = {\left( {{x_B} - {x_M}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_M}} \right)^2} + {\left( {{z_B} - {z_M}} \right)^2}\,\)

+ Từ đó suy ra \(M{A^2} + 2M{B^2}\) theo \(t\).

+ Sử dụng \({X^2} + m \ge m;\,\forall X\) (dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow X = 0\)) để đánh giá \(M{A^2} + 2M{B^2}\) .

Giải chi tiết

Ta có \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\)

Vì \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên \(M\left( {1 + 2t;\,t;\, - 2 - t} \right)\).

\(A{M^2} = {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 5} \right)^2};\,B{M^2} = {\left( {2t} \right)^2} + {\left( {t + 2} \right)^2} + {\left( {t + 3} \right)^2}\)

Ta có \(M{A^2} + 2M{B^2}\)\( = {\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 5} \right)^2} + 2\left[ {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 3} \right)}^2}} \right]\)

\( = 18{t^2} + 36t + 53 = 18\left( {{t^2} + 2t + 1} \right) + 35 = 18{\left( {t + 1} \right)^2} + 35\)

\( \Leftrightarrow \) \(M{A^2} + 2M{B^2}\)\( = 18{\left( {t + 1} \right)^2} + 35\)\( \ge 35\), \(\forall t \in \mathbb{R}\).

Vậy \(\min \left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right) = 35\)\( \Leftrightarrow t = - 1\) hay \(M\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.