Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), đường cao \(BH\). a. CMR: \(\Delta HBA\) đồng dạng với \(\Delta

Câu hỏi số 324093:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), đường cao \(BH\).

a. CMR: \(\Delta HBA\) đồng dạng với \(\Delta HCB\), từ đó suy ra \(H{B^2} = HC.HA\).

b. Kẻ \(HM \bot AB = \left\{ M \right\},\,\,HN \bot BC = \left\{ N \right\}\). CMR: \(MN = BH\).

c. Lấy \(I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(HC\) và \(HA\). Tứ giác \(KMNI\) là hình gì? Vì sao?

d. So sánh diện tích tứ giác \(KMNI\) và diện tích tam giác \(ABC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324093

Phương pháp giải

a) Chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh tứ giác \(HMAN\) là hình chữ nhật, từ đó suy ra \(MN = BH\).

Giải chi tiết

a. Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta HCB\) ta có:

\(\angle HBA = \angle HCB\) (cùng phụ với \(\angle BAC\))

\(\angle AHB = \angle BHC = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta HBA \sim \Delta HCB\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{HA}}{{HB}} \Rightarrow H{B^2} = HC.HA\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

b. Ta có \(HM \bot AB = \left\{ M \right\},\,\,HN \bot BC = \left\{ N \right\}\) nên \(\angle HMB = \angle HNB = {90^0}\).

Lại có \(\angle MBN = {90^0}\) (vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\))

Tứ giác \(BMHN\) có 3 góc vuông nên đó là hình chữ nhật, suy ra \(MN = BH\) (hai đường chéo của hình chữ nhật).

c. \(MH//BC\) nên \(\angle KHM = \angle ICN\) (hai góc đồng vị)

\(K\) là trung điểm cạnh huyền \(AH \Rightarrow KH = KA = KM \Rightarrow \Delta KHM\) cân tại \(K \Rightarrow \angle KHM = \angle KMH\,\,\left( {tc} \right)\)

\(I\) là trung điểm cạnh huyền \(HC \Rightarrow IN = IH = IC \Rightarrow \Delta IHC\) cân tại \(I \Rightarrow \angle ICN = \angle INC\,\,\,\left( {tc} \right).\)

\(\angle HIN = \angle INC + \angle ICN\) (góc ngoài tam giác)

\(\angle MKH + \angle HIN = \angle MKH + 2\angle ICN = \angle MKH + 2\angle KHM = {180^0}\)

Nên \(MK//NI\), suy ra \(KMNI\) là hình thang (dhnb).

Xét \(\Delta KAM\) có \(KA = KM\left( { = \frac{1}{2}AH} \right)\) nên \(\Delta KAM\) là tam giác cân, suy ra \(\angle KAM = \angle AMK\).

Vì \(HMBN\) là hình chữ nhật nên \(\angle NMB = \angle MBH\) (tính chất hình chữ nhật)

Mà \(\angle MBH = \angle BCA\,\, \Rightarrow \angle AMK + \angle NMB = \angle MAH + \angle ICN = {90^0}\)

Suy ra \(KMNI\) là hình thang vuông tại \(M,\,\,N.\)

d. Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC.BH\\{S_{KMNI}} = \frac{1}{2}(KM + NI).MN = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{2}AH + \frac{1}{2}HC} \right).BH = \frac{1}{4}AC.BH\\ \Rightarrow {S_{KMNI}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link