Cho \(a,b,c > 0\). Chứng minh: \(\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} +

Câu hỏi số 324094:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c > 0\). Chứng minh: \(\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324094

Phương pháp giải

Cách 1: Chứng minh \(\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)bằng cách chứng minh \(\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \ge 0\)

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Cách 1:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{{b^2}}} - \frac{2}{b} + \frac{1}{a} + \frac{b}{{{c^2}}} - \frac{2}{c} + \frac{1}{b} + \frac{c}{{{a^2}}} - \frac{2}{a} + \frac{1}{c} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt a }}{b}} \right)^2} - 2.\frac{{\sqrt a }}{b}.\frac{1}{{\sqrt a }} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt a }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt b }}{c}} \right)^2} - 2.\frac{{\sqrt b }}{c}.\frac{1}{{\sqrt b }} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt b }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt c }}{a}} \right)^2} - 2.\frac{{\sqrt c }}{a}.\frac{1}{{\sqrt c }} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt c }}} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt a }}{b} - \frac{1}{{\sqrt a }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt b }}{c} - \frac{1}{{\sqrt b }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt c }}{a} - \frac{1}{{\sqrt c }}} \right)^2} \ge 0\) (đúng với mọi \(a,b,c > 0\))

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c\)

Vậy với \(a,\,b,\,c > 0\) thì \(\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.\)

Cách 2:

Với \(a,b,c > 0\), áp dụng BĐT Cô-si ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{{{b^2}}}.\frac{1}{a}} \ge \frac{2}{b}\,\,;\\\frac{b}{{{c^2}}} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{b}{{{c^2}}}.\frac{1}{b}} \ge \frac{2}{c}\,\,;\\\frac{c}{{{a^2}}} + \frac{1}{c} \ge 2\sqrt {\frac{c}{{{a^2}}}.\frac{1}{c}} \ge \frac{2}{a}\,.\end{array}\)

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{1}{a} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{1}{b} + \frac{c}{{{a^2}}} + \frac{1}{c} \ge \frac{2}{b} + \frac{2}{c} + \frac{2}{a}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{2}{b} + \frac{2}{c} + \frac{2}{a} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\,\,\,(dpcm)\end{array}\)

Vậy với \(a,b,c > 0\) thì \(\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\). Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link