Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và \(SA = SB = SC = a\). Gọi M, N, P lần

Câu hỏi số 324117:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và \(SA = SB = SC = a\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua P. I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{{12}}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{{36}}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{12}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324117

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ số diện tích, tỉ số thể tích để tính thể tích khối tứ diện MBSI thông qua thể tích khối tứ diện vuông SABC.

Giải chi tiết

Do \(SA = SB = SC = a\) nên các tam giác \(SAB,\,\,SBC,\,\,SCA\) vuông tại S.

\( \Rightarrow SA,SB,SC\) đôi một vuông góc.

Thể tích khối tứ diện vuông S.ABC là: \(V = \dfrac{1}{6}.SA.SB.SC = \dfrac{{{a^3}}}{6}\)

Gọi J là giao điểm của MN và AP, I là giao điểm của SJ và AD. Khi đó, \(I = AD \cap \left( {SMN} \right)\) (do \(SI \subset \left( {SMN} \right)\))

\(\Delta ASD\) có: P là trung điểm của SD, J là trung điểm của AP.

Xét tam giác vuông SBC có \(SP = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AP = \sqrt {S{A^2} + S{P^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

\( \Rightarrow SJ = \dfrac{1}{2}AP = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

Ta có: \(SD = 2SP = a\sqrt 2 \Rightarrow AD = a\sqrt 3 \Rightarrow \cos \angle SDA = \dfrac{{SD}}{{AD}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác APD ta có:

\(\dfrac{{JA}}{{JP}}.\dfrac{{SP}}{{SD}}.\dfrac{{ID}}{{IA}} = 1 \Leftrightarrow 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{ID}}{{IA}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ID}}{{IA}} = 2 \Leftrightarrow ID = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SID\) ta có:

\(\begin{array}{l}S{I^2} = S{D^2} + D{I^2} - 2SD.DI.\cos \angle SDA\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{a^2} + \dfrac{4}{3}{a^2} - 2.a\sqrt 2 .\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{2{a^2}}}{3}\\ \Rightarrow SI = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow \dfrac{{SJ}}{{SI}} = \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Dễ dàng chứng minh được: \(SJ = \dfrac{3}{4}SI\)\( \Rightarrow {S_{\Delta SJB}} = \dfrac{3}{4}{S_{\Delta SIB}}\)\( \Rightarrow {V_{M.SJB}} = \dfrac{3}{4}{V_{M.SIB}}\) hay \( \Rightarrow {V_{M.SIB}} = \dfrac{4}{3}{V_{M.SJB}}\)

Lại có: \({S_{\Delta MJB}} = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta AJB}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}{S_{\Delta APB}} = \dfrac{1}{8}{S_{\Delta ABC}}\)

\( \Rightarrow {V_{M.SJB}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ABC}}\)\( \Rightarrow {V_{M.SIB}} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{8}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{6}{a^3} = \dfrac{1}{{36}}{a^3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.