Cho số phức \(z\) có phần thực là số nguyên và \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| - 2\overline z =

Câu hỏi số 325934:

Thông hiểu

Cho số phức \(z\) có phần thực là số nguyên và \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| - 2\overline z = - 7 + 3i + z\). Mô đun của số phức \(w = 1 - z + {z^2}\) bằng

A. \(\left| w \right| = \sqrt {445} \)

B. \(\left| w \right| = \sqrt {425} \)

C. \(\left| w \right| = \sqrt {37} \)

D. \(\left| w \right| = \sqrt {457} \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325934

Phương pháp giải

- Gọi \(z = a + bi\,\,\left( {a \in \mathbb{Z},b \in \mathbb{R}} \right)\).

- Thay vào điều kiện bài cho tìm \(z\), từ đó tính \(w\) và kết luận.

Giải chi tiết

Gọi \(z = a + bi\,\,\left( {a \in \mathbb{Z},b \in \mathbb{R}} \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left| z \right| - 2\overline z = - 7 + 3i + z \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} - 2\left( {a - bi} \right) = - 7 + 3i + a + bi\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} - 2a + 2bi + 7 - 3i - a - bi = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} - 3a + 7 + \left( {b - 3} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 3a + 7 = 0\\b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\\sqrt {{a^2} + 9} - 3a + 7 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải \(\left( 1 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + 9} - 3a + 7 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 9} = 3a - 7 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 7 \ge 0\\{a^2} + 9 = 9{a^2} - 42a + 49\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge \dfrac{7}{3}\\8{a^2} - 42a + 40 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge \dfrac{7}{3}\\\left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 4\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Do đó \(a = 4,b = 3 \Rightarrow z = 4 + 3i\).

Khi đó \(w = 1 - z + {z^2} = 1 - \left( {4 + 3i} \right) + {\left( {4 + 3i} \right)^2} = 1 - 4 - 3i + 16 + 24i - 9 = 4 - 21i\).

Vậy \(\left| w \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2}} = \sqrt {457} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.