Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị

Câu hỏi số 325944:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(6\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325944

Phương pháp giải

- Viết lại \(f\left( x \right)\) dưới dạng tích, thay vào \(g\left( x \right)\).

- Tìm các điểm làm cho \(g\left( x \right)\) không xác định và tính giới hạn của hàm số \(y = g\left( x \right)\) khi \(x\) dần tới các điểm đó.

- Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng và kết luận.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} + x \ge 0\\{\left( {f\left( x \right)} \right)^2} - 2f\left( x \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x \le - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ne 0\\f\left( x \right) \ne 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(x = - 3\) (bội \(2\)) và nghiệm đơn \(x = {x_0} \in \left( { - 1;0} \right)\) nên ta viết lại \(f\left( x \right) = a{\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x - {x_0}} \right)\).

Khi đó \(g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\)\( = \dfrac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x.f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 2} \right]}}\).

Dựa vào đồ thị ta cũng thấy, đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại ba điểm phân biệt \(x = - 1,\,\,x = {x_1} \in \left( { - 3; - 1} \right),\,\,x = {x_2} < - 3\) nên ta viết lại \(f\left( x \right) - 2 = a\left( {x + 1} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).

Khi đó \(g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x.a{{\left( {x + 3} \right)}^2}.\left( {x - {x_0}} \right).a.\left( {x + 1} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)}}\)

\( = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x} }}{{{a^2}x\left( {x + 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - 2} \right)}}\).

Dễ thấy \(x = {x_0} \in \left( { - 1;0} \right)\) nên ta không xét giới hạn của hàm số tại điểm \({x_0}\).

Ta có:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{{a^2}\sqrt x \left( {x + 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - 2} \right)}} = + \infty \)

\( \Rightarrow x = 0\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} g\left( x \right) = + \infty \)

\( \Rightarrow \) Các đường thẳng \(x = - 3,x = {x_1},x = {x_2}\) đều là các đường tiệm cận đúng của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tất cả \(4\) đường tiệm cận đứng.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.