Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\log ^2}\left| {\cos x} \right| -

Câu hỏi số 325950:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\log ^2}\left| {\cos x} \right| - m\log {\cos ^2}x - {m^2} + 4 = 0\) vô nghiệm

A. \(m \in \left( {\sqrt 2 ;2} \right)\)

B. \(m \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)

C. \(m \in \left( { - \sqrt 2 ;2} \right)\)

D. \(m \in \left( { - 2;\sqrt 2 } \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325950

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \log \left| {\cos x} \right|\) và tìm điều kiện của \(t\).

- Thay vào phương trình đã cho đưa về phương trình ẩn \(t\).

- Biến đổi điều kiện bài toán về điều kiện của phương trình vừa có được và tìm \(m\).

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có: \({\log ^2}\left| {\cos x} \right| - m\log {\cos ^2}x - {m^2} + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log ^2}\left| {\cos x} \right| - 2m\log \left| {\cos x} \right| - {m^2} + 4 = 0\).

Đặt \(t = \log \left| {\cos x} \right|\). Do \(0 < \left| {\cos x} \right| \le 1\) nên \(\log \left| {\cos x} \right| \le 0\) hay \(t \in \left( { - \infty ;0} \right]\).

Phương trình trở thành \({t^2} - 2mt - {m^2} + 4 = 0\,\,\,\left( * \right)\) có \(\Delta ' = {m^2} + {m^2} - 4 = 2{m^2} - 4\).

Phương trình đã cho vô nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm hoặc có \(2\) nghiệm (không nhất thiết phân biệt) \({t_1},{t_2}\) thỏa mãn \(0 < {t_1} \le {t_2}\).

TH1 : \(\left( * \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = 2{m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - \sqrt 2 < m < \sqrt 2 \).

TH2 : \(\left( * \right)\) có hai nghiệm thỏa mãn \(0 < {t_1} \le {t_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 4 \ge 0\\2m > 0\\ - {m^2} + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge \sqrt 2 \\m \le - \sqrt 2 \end{array} \right.\\m > 0\\ - 2 < m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt 2 \le m < 2\) .

Kết hợp hai trường hợp ta được \(m \in \left( { - \sqrt 2 ;2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.