Cho \(x,y > 0\) và thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy + 3 = 0\\2x + 3y - 14 \le 0\end{array}

Câu hỏi số 325956:

Vận dụng cao

Cho \(x,y > 0\) và thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy + 3 = 0\\2x + 3y - 14 \le 0\end{array} \right.\). Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x\)?

A. \(8\)

B. \(0\)

C. \(4\)

D. \(12\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325956

Phương pháp giải

- Rút \(y\) từ phương trình đầu, thay vào bất phương trình sau tìm điều kiện của \(x\).

- Thay \(y\) ở trên vào biểu thức \(P\) đưa về biến \(x\).

- Sử dụng phương pháp hàm số đánh giá \(P\) tìm GTLN, GTNN.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\2x + 3y - 14 \le 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Do \(x,y > 0\) nên \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = \dfrac{{{x^2} + 3}}{x}\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(2x + 3.\dfrac{{{x^2} + 3}}{x} - 14 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} + 3{x^2} + 9 - 14x}}{x} \le 0\)\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 14x + 9 \le 0\)\( \Leftrightarrow 1 \le x \le \dfrac{9}{5}\).

Thay \(y = \dfrac{{{x^2} + 3}}{x}\) vào \(P\) ta được:

\(\begin{array}{l}P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x = 3{x^2}.\dfrac{{{x^2} + 3}}{x} - x.{\left( {\dfrac{{{x^2} + 3}}{x}} \right)^2} - 2{x^3} + 2x\\\,\,\,\,\, = 3x\left( {{x^2} + 3} \right) - \dfrac{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}{x} - 2{x^3} + 2x\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - \left( {{x^4} + 6{x^2} + 9} \right) - 2{x^4} + 2{x^2}}}{x} = \dfrac{{5{x^2} - 9}}{x} = 5x - \dfrac{9}{x}\end{array}\)

\(P' = 5 + \dfrac{9}{{{x^2}}} > 0\) với mọi \(x\) nên hàm số \(P = P\left( x \right)\) đồng biến tren \(\left[ {1;\dfrac{9}{5}} \right]\).

Vậy \({P_{\max }} = P\left( {\dfrac{9}{5}} \right) = 4,{P_{\min }} = P\left( 1 \right) = - 4\).

Tổng \({P_{\max }} + {P_{\min }} = 4 + \left( { - 4} \right) = 0\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.