Trong không gian \(Oxyz,\) mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 2;5} \right)\) và tiếp

Câu hỏi số 325963:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 2;5} \right)\) và tiếp xúc với ba mặt phẳng \(\left( P \right):x = 1,\left( Q \right):y = - 1\) và \(\left( R \right):z = 1\) có bán kính bằng

A. \(3\)

B. \(1\)

C. \(2\sqrt 3 \)

D. \(3\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325963

Phương pháp giải

Sử dụng mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) bán kính \(R\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\)

Từ đó sử dụng thêm dữ kiện \(IA = R\) để tìm được bán kính của mặt cầu.

Giải chi tiết

Gọi tâm mặt cầu là \(I\left( {a;b;c} \right)\) . Vì mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) nên ta có

\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = d\left( {I;\left( R \right)} \right) = R\)

Hay \(\left| {a - 1} \right| = \left| {b + 1} \right| = \left| {c - 1} \right| = R\)

Vì mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng nên ta có điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\b < - 1\\c > 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(a - 1 = - 1 - b = c - 1 \Leftrightarrow - a = b = - c \Rightarrow I\left( {a; - a;a} \right)\)

Mà \(A \in \left( S \right)\) nên \(IA = R = \left| {a - 1} \right|\)

Ta có \(\sqrt {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + a} \right)}^2} + {{\left( {5 - a} \right)}^2}} = \left| {a - 1} \right| \Leftrightarrow {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 2 + a} \right)^2} + {\left( {5 - a} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{a^2} - 16a + 32 = 0 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow R = 3\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.