Trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang có hai lò xo cùng độ cứng k và chiều dài tự nhiên là 25cm.Gắn

Câu hỏi số 326146:

Vận dụng cao

Trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang có hai lò xo cùng độ cứng k và chiều dài tự nhiên là 25cm.Gắn một đầu lò xo vào giá đỡ I cố định, đầu kia gắn với vật nhỏ A, B có khối lượng lần lượt là m và 4m (hình vẽ). Ban đầu A, B được giữ đứng yên sao cho lò xo gắn A dãn 5cm, lò xo gắn B nén 5cm. Đồng thời buông tay để các vật dao động, khi đó khoảng cách nhỏ nhất giữa A và B gần nhất với giá trị

A. 50cm

B. 55cm

C. 45cm

D. 40cm

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:326146

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}{x_A} = 5\cos {\omega _A}t\left( {cm} \right);{x_B} = 5\cos \left( {{\omega _B}t + \pi } \right)cm\\ = > AI = 5\cos {\omega _A}t + 25cm;BI = 5\cos \left( {{\omega _B}t + \pi } \right) + 25cm\\ = > {d_{AB}} = AI + BI = 50 + 5\left[ {\cos {\omega _A}t + \cos \left( {{\omega _B}t + \pi } \right)} \right] = 50 + 10\cos \left[ {\frac{{\left( {{\omega _A} + {\omega _B}} \right)t}}{2} + \frac{\pi }{2}} \right]\cos \left[ {\frac{{\left( {{\omega _A} - {\omega _B}} \right)t}}{2} - \frac{\pi }{2}} \right]\end{array}\)

Vì \({m_B} = 4{m_A} = > {\omega _B} = \frac{1}{2}{\omega _A}\,\,\left( {do\,k = \,nhau} \right)\)

\( = > {d_{AB}} = 50 + 10\cos \left( {\frac{{3{\omega _B}}}{2}t + \frac{\pi }{2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _B}}}{2}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 50 - 10\sin \left( {\frac{{3{\omega _B}}}{2}t} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _B}}}{2}t} \right)\)

Đặt \(\frac{{{\omega _B}t}}{2} = a\) ta có \({d_{AB}} = 50 - 10\sin 3a.\sin a\)

Xét hàm \(f\left( a \right) = \sin 3a.\sin a = \left( {3\sin a - 4{{\sin }^3}a} \right)\sin a = 3{\sin ^2}a - 4{\sin ^4}a\)

Đặt \[{\sin ^2}a = y;\left( {0 \le y \le 1} \right)\] \(f = 3y - 4{y^2} = - \left( {4{y^2} - 3y} \right) = - \left[ {4{y^2} - 2.2y.\frac{3}{4} + \frac{9}{{16}} - \frac{9}{{16}}} \right] = - {\left( {2y - \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{9}{{16}}\)

\({f_{max}} = \frac{9}{{16}} = > y = \frac{3}{4}\left( {tm} \right) = > {d_{AB\min }} = 50 - 10.\frac{9}{{16}} = 44,375\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.