Tìm \(x,y\) nguyên dương thỏa mãn: \(16({x^3} - {y^3}) = 15xy + 371.\)

Câu hỏi số 326389:

Vận dụng

A. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {2;\,1} \right).\)

B. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {5;\,2} \right).\)

C. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {3;\,2} \right).\)

D. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {3;\,1} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:326389

Phương pháp giải

Sử dụng đánh giá linh hoạt để chứng minh rằng \(VT > VP.\)

Giải chi tiết

Vì \(x,\,\,y\) nguyên dương nên \(VP > 0\) do đó \(VT > 0\) nên \(x > y.\)

Ta có: \(15xy = 16({x^3} - {y^3}) - 371\) là số lẻ nên \(x,\,\,y\) đều lẻ, do vậy: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\y \ge 1\end{array} \right..\)

Xét \(x = 3\) thì \(y = 1\) thay vào phương trình thỏa mãn.

Xét \(x \ge 5\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}x - 2 \ge y \Rightarrow 16\left( {{x^3} - {y^3}} \right) \ge 16\left[ {{x^3} - {{(x - 2)}^3}} \right] = 16\left( {6{x^2} - 12x + 8} \right)\\15xy + 371 \le 15x\left( {x - 2} \right) + 371 = 15{x^2} - 30x + 371\\16\left( {6{x^2} - 12x + 8} \right) - \left( {15{x^2} - 30x + 371} \right) = 81{x^2} - 162x - 243 = 81\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\end{array}\)

Ta có : \({x^2} - 2x - 3 > 0,\,\,\forall x \ge 5 \Rightarrow 16\left( {{x^3} - {y^3}} \right) > 15xy + 371\)

Vậy trường hợp này vô nghiệm.

Vậy phương trình có cặp nghiệm nguyên dương duy nhất : \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {3;\,1} \right).\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link