Tìm GTLN của biểu thức: \(A = \frac{{{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}\)

Câu hỏi số 326484:

Vận dụng cao

A. \(Max\,\,A = \frac{1}{4}\)

B. \(Max\,\,A = \frac{1}{3}\)

C. \(Max\,\,A = \frac{1}{2}\)

D. \(Max\,\,A = 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:326484

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất: \({x^2} \ge 0\,\,\,(\forall x)\,\, ; a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\,\,\,(\forall a,b \ge 0)\)

Giải chi tiết

Ta có \({x^2} \ge 0\) và \({x^4} + {x^2} + 1 \ge 0\) với mọi \(x\), suy ra \(A \ge 0\) với mọi \(x\).

Do đó \(x = 0\) không làm cho \(A\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta xét \(A = \frac{1}{{{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}\) .

Do \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 2.\sqrt {{x^2}.\frac{1}{{{x^2}}}} \) hay \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 2\) nên suy ra \({x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 3\).

GTLN của \(A\) đạt được khi \({x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}\) đạt nhỏ nhất là \(3\), khi đó \({x^2} = \frac{1}{{{x^2}}}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{{{x^2}}} = {x^4} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right..\)

Vậy \(Max\,\,A = \frac{1}{3}\) khi \(x = \pm 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link