Cho khối chóp S.ABC có thể tích V, M là một điểm trên cạnh SB. Thiết diện qua M song song với

Câu hỏi số 327518:

Vận dụng

Cho khối chóp S.ABC có thể tích V, M là một điểm trên cạnh SB. Thiết diện qua M song song với đường thẳng SA và BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi \({V_1}\) là thể tích phần khối chóp S.ABC chứa cạnh SA. Biết \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{20}}{{27}}\). Tỉ số \(\dfrac{{SM}}{{SB}}\) bằng:

A. \(\dfrac{2}{3}\).

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. \(\dfrac{3}{4}\)

D. \(\dfrac{4}{5}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327518

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác

(Công thức Simson): Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\). Khi đó,

\(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\)

Giải chi tiết

Dựng MN//BC \(\left( {N \in SC} \right)\), MQ//SA \(\left( {Q \in AB} \right)\), PQ//BC

\(\left( {P \in AC} \right) \Rightarrow MNPQ\) là thiết diện cần dựng.

\({V_1}\) là thể tích khối đa giác SNM.APQ. Dựng MR // AB \(\left( {R \in SA} \right)\). Khi đó, khối đa giác SNM.APQ được chia làm 2 phần: khối chóp tam giác S.RMN và khối lăng trụ RMN.AQP.

Giả sử \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = x\).

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.RMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = {\left( {\dfrac{{SM}}{{SB}}} \right)^3} = {x^3} \Rightarrow {V_{S.RMN}} = {x^3}.{V_{S.ABC}}\)

\({V_{RMN.ABC}} = d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{APQ}} = \left( {1 - x} \right)d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = 3\left( {1 - x} \right).{x^2}.{V_{S.ABC}}\)\( \Rightarrow {V_1} = 3\left( {1 - x} \right).{x^2}.V\)

Mà \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{20}}{{27}} \Rightarrow {x^3} + 3\left( {1 - x} \right).{x^2} = \dfrac{{20}}{{27}} \Leftrightarrow - 2{x^3} + 3x - \dfrac{{20}}{{27}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\).

Vậy \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.