Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ

Câu hỏi số 327524:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng \(\dfrac{a}{6}\). Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

A. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\).

B. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).

C. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{28}}\).

D. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327524

Phương pháp giải

Thể tích khối lăng trụ: \(V = Sh\).

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm cua BC, kẻ \(AH \bot A'I\).

\(\Delta ABC\) đều cạnh a \( \Rightarrow AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\,{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AI \cap \left( {A'BC} \right) = \left\{ I \right\}\\AI = 3.OI\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {O;\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'I} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

Mà \(AH \bot A'I \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\)

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{a}{6} \Rightarrow AH = \dfrac{a}{2}\)

\(\Delta AA'I\) vuông tại A, \(AH \bot A'I\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{I^2}}} + \dfrac{1}{{AA{'^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{AA{'^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{AA{'^2}}}\)\( \Leftrightarrow AA' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: \(V = {S_{ABC}}.AA' = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.