Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường

Câu hỏi số 327525:

Vận dụng

Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh khi cho phần tô đậm (hình vẽ) quay quanh đường thẳng AD bằng

A. \(\dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).

B. \(\dfrac{{20\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{217}}\).

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327525

Phương pháp giải

Thể tích khối nón bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\): \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)

Thể tích khối cầu bán kính \(r\): \(V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3}\).

Giải chi tiết

Thể tích cần tìm bằng thể tích của khối cầu đường kính AD trừ đi thể tích khối nón sinh bởi tam giác ABC khi quay quanh trục AD.

+) \(\Delta ADC\) vuông tại C \( \Rightarrow AD = \dfrac{{AC}}{{\cos \widehat {DAC}}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow \) Bán kính khối cầu đường kính AD là: \(R = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow {V_{cau}} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)

+) \(\Delta ABC\) đều, cạnh a \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\\,r = HB = HC = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.\)

Thể tích khối nón là: \({V_{non}} = \dfrac{1}{3}.\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

Thể tích cần tìm là: \(V = \dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}} - \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \dfrac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.