Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường

Câu hỏi số 327525:

Vận dụng

Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh khi cho phần tô đậm (hình vẽ) quay quanh đường thẳng AD bằng

A. \(\dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).

B. \(\dfrac{{20\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{217}}\).

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327525

Phương pháp giải

Thể tích khối nón bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\): \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)

Thể tích khối cầu bán kính \(r\): \(V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3}\).

Giải chi tiết

Thể tích cần tìm bằng thể tích của khối cầu đường kính AD trừ đi thể tích khối nón sinh bởi tam giác ABC khi quay quanh trục AD.

+) \(\Delta ADC\) vuông tại C \( \Rightarrow AD = \dfrac{{AC}}{{\cos \widehat {DAC}}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow \) Bán kính khối cầu đường kính AD là: \(R = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow {V_{cau}} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)

+) \(\Delta ABC\) đều, cạnh a \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\\,r = HB = HC = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.\)

Thể tích khối nón là: \({V_{non}} = \dfrac{1}{3}.\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

Thể tích cần tìm là: \(V = \dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}} - \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \dfrac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.