Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có mặt \(ABCD\) là hình vuông, \(AA' = \frac{{AB\sqrt 6 }}{2}.\)

Câu hỏi số 327827:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có mặt \(ABCD\) là hình vuông, \(AA' = \frac{{AB\sqrt 6 }}{2}.\) Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {C'BD} \right)\).

A. \(30^\circ \)

B. \(45^\circ \)

C. \(60^\circ \)

D. \(90^\circ \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327827

Phương pháp giải

+ Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \bot d;a \subset \left( P \right)\\b \bot \left( Q \right);b \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) góc tạo bởi \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là góc tạo bởi hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)

+ Tính toán dựa vào định lý Pytago.

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm hai đường chéo của hình vuông \(ABCD\). Khi đó \(I\) là trung điểm của \(BD.\)

Xét tam giác \(A'BD\) cân tại \(A' \Rightarrow A'I \bot BD\) và tam giác \(C'BD\) cân tại \(C' \Rightarrow C'I \bot BD\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BD} \right) \cap \left( {C'BD} \right) = BD\\A'I \bot BD\\C'I \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \) góc tạo bởi \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {C'BD} \right)\) là góc \(A'IC'.\)

Gọi \(AB = x \Rightarrow AA' = \frac{{AB\sqrt 6 }}{2} = \frac{{x\sqrt 6 }}{2}\)

Xét hình vuông \(ABCD\) có \(AC = BD = x\sqrt 2 \Rightarrow A'C' = x\sqrt 2 ;DI = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác \(AA'D\) vuông tại \(A\) có \(A'D = \sqrt {A{{A'}^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{x\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {x^2}} = \frac{{x\sqrt {10} }}{2}\)

Xét tam giác \(A'DI\) vuông tại \(I\) có \(A'I = \sqrt {A'{D^2} - D{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{x\sqrt {10} }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = x\sqrt 2 \)

Vì \(\Delta A'DB = \Delta C'DB\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow C'I = A'I = x\sqrt 2 \)

Xét tam giác \(A'IC'\) có \(A'I = C'I = A'C' = x\sqrt 2 \) nên \(\Delta A'IC'\) là tam giác đều. Suy ra \(\angle A'IC' = {60^0}.\)

Vậy góc tạo bởi \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {C'BD} \right)\) là góc \(A'IC'\) bằng \({60^0}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.