a) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu thỏa mãn: \(\cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2bc}}{{{a^2}}}\) b)

Câu hỏi số 328480:

Vận dụng cao

a) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu thỏa mãn: \(\cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2bc}}{{{a^2}}}\)

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm \(A\left( {4; - 3} \right),B\left( {4;1} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):x + 6y = 0\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua A và B sao cho tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc \(\left( d \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:328480

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lý sin biến đổi đề bài thành phương trinhg tích để suy ra \(\cos A = 0\)

b) Viết phương trình đường trung trực của AB.

Tìm tọa độ điểm I là giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn tại A và B đồng thời là giao điểm của đường trung trực AB và đường thẳng \(\left( d \right)\).

Tìm tọa độ tâm O của \(\left( C \right)\) bằng cách viết OA và O là giao của OA và đường trung trực của AB.

Từ đó viết phương trình đường tròn \(\left( C \right).\)

Giải chi tiết

a) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu thỏa mãn: \(\cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2bc}}{{{a^2}}}\)

Áp dụng định lý hàm số sin ta có: \(a = 2R.\sin A\,\,;\,\,b = 2R.\sin B\,\,;\,\,c = 2R.\sin C\)

Trong tam giác, tổng số đo 3 góc bằng \({180^0} \Rightarrow \angle A + \angle B + \angle C = {180^0}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2bc}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2.2R.\sin B.2R.\sin C}}{{4{R^2}.{{\sin }^2}A}}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2\sin B.\sin C}}{{{{\sin }^2}A}} \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right).{\sin ^2}A = \cos \left( {B - C} \right) - \cos \left( {B + C} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right)\left( {1 - {{\sin }^2}A} \right) - \cos \left( {{{180}^o} - A} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right).{\cos ^2}A + \cos A = 0\\ \Leftrightarrow \cos A\left[ {\cos \left( {B - C} \right)\cos A + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \cos A\left[ { - \cos \left( {B - C} \right)\cos \left( {B + C} \right) + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \cos A.\left[ {1 - \frac{1}{2}\left( {\cos 2B + \cos 2C} \right)} \right] = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì A, B, C là các góc trong tam giác \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ne 0\\C \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2B \ne 0\\2C \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2B \ne 1\\\cos 2C \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow 1 - \frac{1}{2}\left( {\cos 2B + \cos 2C} \right) \ne 0\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos A = 0 \Leftrightarrow \angle A = \frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {do\,\,\angle A > 0} \right)\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Gọi M là trung điểm của đoạn AB \( \Rightarrow M\left( {4; - 1} \right)\)

Gọi O là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) \( \Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn \(AB\,\,\,\left( {OA = OB,MA = MB} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {0;4} \right)\) là 1 VTPT của OM

\( \Rightarrow \) Phương trình OM : \(4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4y + 4 = 0\)

Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn tại A và B

\( \Rightarrow IA = IB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow I \in OM\) mà \(I \in \left( d \right)\) (gt)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}4y + 4 = 0\\x + 6y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x = 6\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {6; - 1} \right)\)

Vì IA là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại A

\( \Rightarrow IA \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( { - 2; - 2} \right)\) là 1 VTPT của OA

\( \Rightarrow \) Phương trình OA :

\( - 2\left( {x - 4} \right) - 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\)

Ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}O \in OM\\O \in OA\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4y + 4 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow O\left( {2; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow {R^2} = O{A^2} = {\left( {4 - 2} \right)^2} + {\left( { - 3 + 1} \right)^2} = 8\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.