Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 329963:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = ax + b\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\), biết \(\left( d \right)\) cắt trục hoành tại \(A\) và cắt trục tung tại \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(O\), với \(O\) là gốc tọa độ. Tính \(a + b\).

A. 0

B. -2

C. -1

D. -3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:329963

Phương pháp giải

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\).

+) Tìm giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ.

+) Tính \(OA,\,OB\), giải phương trình tìm \({x_0} \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến và kết luận.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\(\begin{array}{l}y = - \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}} \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}x + \dfrac{{{x_0}}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}}\\ \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}x + \dfrac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\,\,\left( d \right)\end{array}\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} \Rightarrow B\left( {0;\dfrac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right) = \left( d \right) \cap Oy\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}x = \dfrac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} \Leftrightarrow x = 2x_0^2 + 8{x_0} + 6 \Rightarrow A\left( {2x_0^2 + 8{x_0} + 6;0} \right) = \left( d \right) \cap Ox\)

\(\Delta OAB\) cân tại \(O \Rightarrow OA = OB \Rightarrow \left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right| = \left| {\dfrac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right|\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right| = 0\\{\left( {2{x_0} + 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {0;0} \right);\,\,B\left( {0;0} \right)\,\,\left( {loai} \right)\\\left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1 \Rightarrow A\left( {0;0} \right);\,\,B\left( {0;0} \right)\,\,\left( {loai} \right)\\{x_0} = - 2 \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right);\,\,B\left( {0; - 2} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Với \({x_0} = - 2 \Rightarrow pt\left( d \right):\,\,y = - x - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 3\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.