Cho \(a,\,b,\,c\) dương thỏa mãn: \(ab + bc + ca = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P

Câu hỏi số 329990:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,b,\,c\) dương thỏa mãn: \(ab + bc + ca = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {1 + {c^2}} }} - {a^2} - 28{b^2} - 28{c^2}.\)

A. \(Max\,\,P = \frac{{19}}{4}\)

B. \(Max\,\,P = - \frac{{19}}{4}\)

C. \(Max\,\,P = \frac{{37}}{4}\)

D. \(Max\,\,P = - \frac{{37}}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:329990

Phương pháp giải

- Sử dụng giả thiết \(ab + ac + bc = 1\) để thay vào từng căn thức của mẫu số, ta được nhân tử \(\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\) sau đó sử dụng BĐT Cô-si.

- Chú ý chọn điểm rơi để đánh giá Cô Si vế âm ở \(P.\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có : \(ab + bc + ca = 1.\)

Áp dụng BĐT Cô-si và biểu thức bài cho ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt {ab + ac + bc + {a^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt {(a + b)(a + c)} }} \le \frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}\\\frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + ab + ac + bc} }} = \frac{b}{{\sqrt {(b + c)(b + a)} }} \le \frac{b}{{4(b + c)}} + \frac{b}{{a + b}}\\\frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} = \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + ab + ac + bc} }} = \frac{c}{{\sqrt {(a + c)(c + b)} }} \le \frac{c}{{4(b + c)}} + \frac{c}{{a + c}}\end{array}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} \le \frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}} + \frac{b}{{4(b + c)}} + \frac{b}{{a + b}} + \frac{c}{{4(b + c)}} + \frac{c}{{a + c}}\\ = \frac{{a + b}}{{a + b}} + \frac{{a + c}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{4(b + c)}} = 1 + 1 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.\end{array}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{49{b^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}.49{b^2}}}{4}} = 7ab.\\\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{49{c^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}.49{c^2}}}{4}} = 7ac.\\\frac{7}{2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \ge 7bc\\ \Rightarrow {a^2} + 28{b^2} + 28{c^2} \ge 7\left( {ab + ac + bc} \right) = 7\\ \Rightarrow P \le \frac{9}{4} - 7 = - \frac{{19}}{4}.\end{array}\)

Dầu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7b = 7c\\ab + bc + ca = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\\b = c = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array} \right..\)

Vậy \(Max\,\,P = - \frac{{19}}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\\b = c = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link