Cho \(a,\,b,\,c\) dương thỏa mãn: \(ab + bc + ca = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P

Câu hỏi số 329990:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,b,\,c\) dương thỏa mãn: \(ab + bc + ca = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {1 + {c^2}} }} - {a^2} - 28{b^2} - 28{c^2}.\)

A. \(Max\,\,P = \frac{{19}}{4}\)

B. \(Max\,\,P = - \frac{{19}}{4}\)

C. \(Max\,\,P = \frac{{37}}{4}\)

D. \(Max\,\,P = - \frac{{37}}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:329990

Phương pháp giải

- Sử dụng giả thiết \(ab + ac + bc = 1\) để thay vào từng căn thức của mẫu số, ta được nhân tử \(\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\) sau đó sử dụng BĐT Cô-si.

- Chú ý chọn điểm rơi để đánh giá Cô Si vế âm ở \(P.\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có : \(ab + bc + ca = 1.\)

Áp dụng BĐT Cô-si và biểu thức bài cho ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt {ab + ac + bc + {a^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt {(a + b)(a + c)} }} \le \frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}\\\frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + ab + ac + bc} }} = \frac{b}{{\sqrt {(b + c)(b + a)} }} \le \frac{b}{{4(b + c)}} + \frac{b}{{a + b}}\\\frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} = \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + ab + ac + bc} }} = \frac{c}{{\sqrt {(a + c)(c + b)} }} \le \frac{c}{{4(b + c)}} + \frac{c}{{a + c}}\end{array}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} \le \frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}} + \frac{b}{{4(b + c)}} + \frac{b}{{a + b}} + \frac{c}{{4(b + c)}} + \frac{c}{{a + c}}\\ = \frac{{a + b}}{{a + b}} + \frac{{a + c}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{4(b + c)}} = 1 + 1 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.\end{array}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{49{b^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}.49{b^2}}}{4}} = 7ab.\\\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{49{c^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}.49{c^2}}}{4}} = 7ac.\\\frac{7}{2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \ge 7bc\\ \Rightarrow {a^2} + 28{b^2} + 28{c^2} \ge 7\left( {ab + ac + bc} \right) = 7\\ \Rightarrow P \le \frac{9}{4} - 7 = - \frac{{19}}{4}.\end{array}\)

Dầu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7b = 7c\\ab + bc + ca = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\\b = c = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array} \right..\)

Vậy \(Max\,\,P = - \frac{{19}}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\\b = c = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link