Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính BC. Gọi A là điểm di động trên nửa đường tròn (A

Câu hỏi số 329989:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính BC. Gọi A là điểm di động trên nửa đường tròn (A khác B, C). Kẻ \(AD \bot BC\,\,\left( {D \in BC} \right)\) sao cho đường tròn đường kính AD cắt AB, AC và nửa đường tròn (O) tại E, F, G (khác A), AG cắt BC tại H.

1) Tính: \(\frac{{A{D^3}}}{{BE.CF}}\) theo R và chứng minh H, E, F thẳng hàng.

2) Chứng minh: \(FG.CH + GH.CF = CG.{\rm{ }}HF.\)

3) Trên BC lấy M cố định (M khác B, C). Gọi N, P lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB và MAC. Xác định vị trí của A để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi:329989

Phương pháp giải

1) Gọi I là trung điểm AH có E, I, F thẳng hàng, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để chứng minh. Có thể dùng hằng đẳng phương tuy nhiên đơn giản hơn ta sẽ chứng minh I là trực tâm của AOH.

2) Sử dụng định lý Ptoleme sau khi xét các tam giác đồng dạng.

Định lý:

Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện

Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.

3) Diện tích tam giác ANP min khi mà NP min.

Giải chi tiết

1) Tính: \(\frac{{A{D^3}}}{{BE.CF}}\) theo R và chứng minh H, E, F thẳng hàng.

Ta có: \(\angle BAC\, = \,\angle DAE = \angle AFD = {90^0}\) (các góc nội tiếp chắn các nửa đường tròn).

Áp dụng hệ thức lượng trong các \(\Delta ABC,\,\,\Delta ADB,\,\,\Delta ADE\) vuông tại \(D\) ta có:

\(\begin{array}{l}AB.AC = AD.BC\\BD.CD = A{D^2}\\BE.AB = B{D^2}\\CF.AC = C{D^2}\\ \Rightarrow BE.CF.AB.AC = {\left( {BD.CD} \right)^2} = A{D^4}\\ \Rightarrow AB.AC = \frac{{A{D^4}}}{{BE.CF}}\\ \Rightarrow \frac{{A{D^3}}}{{BE.CF}} = \frac{{AB.AC}}{{AD}} = AD.\frac{{BC}}{{AD}} = BC = 2R.\end{array}\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) thì \(E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng. (do \(AEDF\) là hình chữ nhật).

Xét đường tròn tâm \(I,\) đường kính \(AD\) ta có: \(IG = IA = \frac{{AD}}{2}.\)

Xét đường tròn tâm \(O,\) đường kính \(BC\) ta có: \(OG = OA = \frac{{BC}}{2}.\)

\( \Rightarrow OI\) là đường trung trực của \(AG.\) (tính chất đường trung trực)

\( \Rightarrow OI \bot AH.\)

Lại có \(AI \bot OH \Rightarrow I\) là trực tâm \(\Delta AOH \Rightarrow IH \bot OA\)

\( \Rightarrow H,\,\,E,\,\,F\) thẳng hàng. (đpcm)

2) Chứng minh: FG. FH + GH. CF = CG. HF.

Ta có: \(\angle AGD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta AGD\) và \(\Delta ADH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle A\,\,chung\\\angle AGD = \angle ADH = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta AGD \sim \Delta ADH\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle ADG = \angle AHD\) (các góc tương ứng)

Lại có: \(\angle AFG = \angle ADG\) (các góc nội tiếp cùng chắn cung AG)

\( \Rightarrow \angle AFG = \angle AHD = \angle AHC\left( { = \angle ADG} \right)\)

\( \Rightarrow GFCH\) là tứ giác nội tiếp. (góc trong tại một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)

Gọi \(J\) là một điểm trên \(GC\) sao cho \(\angle GFJ = \angle HFC.\) Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta GFJ \sim \Delta HFC\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{GJ}}{{HC}} = \frac{{FG}}{{FH}} \Rightarrow FG.HC = GJ.FH\\\Delta GFH \sim \Delta JFC\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{GH}}{{JC}} = \frac{{FH}}{{FC}} \Rightarrow GH.FC = FH.JC\\ \Rightarrow FG.CH + GH.CF = FH\left( {GJ + JC} \right) = FH.CG\end{array}\)

Đây chính là định lý Ptoleme.

Vậy \(FG.FH + GH.CF = CG.HF.\)

3) Trên BC lấy M cố định, gọi N, P lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB và MAC. Xác định vị trí của A để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất.

Ta có: \(\Delta MNP = \Delta ANP\,\,\left( {c - c - c} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta MNP \sim \Delta ABC\,\,\left( {g - g} \right)\\\Delta ANP \sim \Delta ABC\,\,\left( {g - g} \right)\end{array} \right.\)

Lại có \(AM\) là đường cao của \(\Delta ANP.\)

Từ đây ta suy ra diện tích tam giác MNP nhỏ nhất khi và chỉ khi NP nhỏ nhất..

Mặt khác: \(\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{AL}}{{AD}} = \frac{1}{2}\frac{{AM}}{{AD}}\)

\(\frac{{AM}}{{AD}}\) nhỏ nhất khi D trùng M hay A là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với BC với nửa đường tròn (O, R).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.