Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\ln x,\) trục \(Ox\) và đường

Câu hỏi số 330064:

Vận dụng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\ln x,\) trục \(Ox\) và đường thẳng \(x = e.\)

A. \(S = \dfrac{{{e^2} + 3}}{4}\)

B. \(S = \dfrac{{{e^2} - 1}}{2}\)

\(S = \dfrac{{{e^2} + 1}}{2}\)

D. \(S = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:330064

Phương pháp giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\) trục hoành \(Ox,\) đường thẳng \(x = a;x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Để tìm đủ cận tích phân ta đi giải phương trình \(f\left( x \right) = 0.\)

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính toán.

Giải chi tiết

ĐK: \(x > 0.\)

Xét phương trình \(x\ln x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {ktm} \right)\\\ln x = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_1^e {\left| {x\ln x} \right|dx = \left| {\int\limits_1^e {x\ln xdx} } \right|} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\xdx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x}dx = du\\\dfrac{{{x^2}}}{2} = v\end{array} \right.\)

Suy ra \(\int\limits_1^e {x\ln xdx = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)} \right|_1^e} - \int\limits_1^e {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{1}{x}dx} \right) = \dfrac{{{e^2}}}{2} - } \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e {xdx = \dfrac{{{e^2}}}{2} - } \left. {\dfrac{{{x^2}}}{4}} \right|_1^e\) \( = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{{{e^2}}}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}.\)

Hay \(S = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.